Chapter 6 生长曲线的理论和应用

引言

近似方法对于研究谱线轮廓而言太粗糙，而用准确的轮廓方法来研究恒星的吸收线又显得相当麻烦。因此有必要介绍一种较为粗略、但简便的分析恒星吸收线光谱的方法。

生长曲线方法

• 不讨论谱线的轮廓或形状,只研究吸收线的总吸收，即吸收线的等值宽度，避免了很多因素对结果的影响

• 理论基础

  • 谱线的等值宽度 $Wλ$ 和产生该谱线的低能级的振子柱密度 $\mathcal{N_j}f{jk}$ 之间存在某种确定的关系

• $S-S$ 模型给出的 $Wλ-\mathcal{N_j}f{jk}$ 关系

  • $\mathcal{Nj}f{jk}$ 很小时，$Wλ$ 随 $\mathcal{N_j}f{jk}$ 很快增大，多普勒效应起主要作用

  • $\mathcal{Nj}f{jk}$ 稍大时，$Wλ$ 随 $\mathcal{N_j}f{jk}$ 增长缓慢，多普勒效应起主要作用

  • $\mathcal{Nj}f{jk}$ 很大时，$Wλ$ 随 $\mathcal{N_j}f{jk}$ 又有较快地增长，阻尼起主要作用

理论生长曲线

• 理论上得到 $Wλ-\mathcal{N_j}f{jk}$ 关系或与它们成正比量的关系

• 当采用不同的大气模型、不同的谱线形成机制、以及不同的数学简化假设等导出不同的剩余强度，理论生长曲线不同

生长曲线的观测对照

• 一次观测上可以获得一条谱线的等值宽度的观测值；只要同时观测到足够多的谱线，并且这些谱线的振子强度已知，我们就可以拼出一条完整的生长曲线

• 将理论的和观测的生长曲线匹配,可以简便地得到恒星大气的一些重要物理量

  • 恒星大气里各种元素的相对含量

  • 恒星大气的阻尼常数

  • 恒星大气的湍动速度和激发温度

理论的生长曲线

S-S 模型的理论生长曲线

累积辐射剩余强度的一般性精确表达式

$$r _ { \nu } = \frac { F _ { \nu } } { F _ { \nu } ^ { 0 } } = \frac { H _ { \nu } } { H _ { \nu } ^ { 0 } } = \frac { 1 } { 1 + \tau _ { \nu } ^ { \sigma } \varphi \left( \tau _ { \nu } ^ { \sigma } \right) }$$

采用 $\phi(\tau_\nu^\sigma)\approx1$ 近似，从而

$$r_\nu=\frac{1}{1+\tau^\sigma_\nu}$$

当 $\tau^\sigma\nu>>1$ ，$r\nu\to0$ ，但是观测显示对于某些早型星，观测的 $r_{\nu_0}$ 较大。

于是考虑 $R\nu$ 为被研究光谱中观测到的吸收线的线性深度 $R\nu\equiv1-r_\nu$ ，$R_c$ 为最强的深度进行如下修正：

$$\frac { 1 } { R _ { \nu } } = 1 + \frac { 1 } { \tau _ { \nu } ^ { \sigma } } \Rightarrow \frac { 1 } { R _ { \nu } } = \frac { 1 } { R _ { c } } + \frac { 1 } { \tau _ { \nu } ^ { \sigma } }$$

修正后，$\tau^\sigma\nu>>1$ ，$R\nu\to R_c$ ，利用经验方法可以给出 $R_c$ ，对于一般的晚型星 $R_c\simeq 1$ ，对于早型星 $R_c\simeq0.5$

推导生长曲线

在所讨论的由 $j→k$ 的跃迁产生的谱线频率处，整个反变层的光学厚度为

$$\tau _ { \nu } ^ { \sigma } = \int N_j a _ { \nu } \text{d} h$$

其中 $Nj$ 是单位体积内处于谱线低能态的吸收原子数目，$a\nu$ 是对应于 $j→k$ 跃迁的以一个处于 $j$ 态原子计算的吸收系数

生长曲线理论只考虑被(辐射、碰撞)阻尼和多普勒效应加宽的谱线，不涉及(即不适用于)被线性斯塔克效应加宽的谱线—— $a_\nu$ 由阻尼效应和微观多普勒效应联合作用下的吸收系数表达式确定

$$\frac { a _ {\nu } } { a _ {\nu _ { 0 } } } = \frac { a } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { e ^ { - y ^ { 2 } } } { ( P - y ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \text{d} y \equiv H ( a , P )$$

$a\nu$ 是一个和深度有关的函数，因为不同深度 $ζ_D$ 和 $\delta{jk}$ 会不同

假设在反变层温度和阻尼常数变化不大，即假设 $a_\nu$ 与深度 $h$ 近似无关

$$\tau _ { \nu } ^ { \sigma } = a _ { \nu }\int N_j \text{d} h= a_\nu\mathcal{N_j}$$

代入闵纳特半经验公式

$$\frac { 1 } { R _ { \nu } }=\frac { 1 } { R _ { c } } + \frac { 1 } { \tau _ { \nu } ^ { \sigma } }\Rightarrow R _ { \nu } = \frac { R _ { c } } { 1 + \left( a _ { \nu } \mathcal { N } _ { j } / R _ { c } \right) ^ { - 1 } }$$

等值宽度

$$\begin{align*} W _ { \nu } &= \int R _ { \nu } \text{d}\nu\\ \Rightarrow \frac { W _ { \nu } } { R _ { c } } &= \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \text{d}\nu } { 1 + \left( a _ { \nu } \mathcal{N} _ { j } / R _ { c } \right) ^ { - 1 } }\\ &=\int _ { -\infty } ^ { \infty } \frac { \text{d}(\nu-\nu_0) } { 1 + \left( a _ { \nu } \mathcal{N} _ { j } / R _ { c } \right) ^ { - 1 } }\\ &=2\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \text{d}(\nu-\nu_0) } { 1 + \left( a _ { \nu } \mathcal{N} _ { j } / R _ { c } \right) ^ { - 1 } } \end{align*}$$

定义 $X0\equiv a{\nu0}\mathcal{N_j}$，$D { \mathrm { 0 } } \equiv X { \mathrm { 0} } / R { c }$

$$\begin{align*} \frac { W _ { \nu } } { R _ { c } } &=2\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \text{d}(\nu-\nu_0) } { 1 + \left( a _ { \nu } X_0 / a _ { \nu_0 }R _ { c } \right) ^ { - 1 } }\\ &=2\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \text{d}(\nu-\nu_0) } { 1 + \left( a _ { \nu } D_0 / a _ { \nu_0 } \right) ^ { - 1 } } \end{align*}$$

$D0$ 较小，吸收较弱（$\mathcal { N } { { j } } f _ { j k }$ 较小），谱线轮廓由线心决定，等值宽度由微观多普勒效应决定

• 微观多普勒效应

  $$a _ { \nu } / a _ { \nu _ { 0 } } \approx e ^ { - \left[ \left( \nu - \nu _ { 0 } \right) / \Delta \nu _ { D } \right] ^ { 2 } }$$

  • $D_0<1$ ($0<D_0<0.5$)

  • $D_0$ 增大 ($D_0\gg1$)

  • 否则只能数值积分

$D0$ 进一步增大，吸收很强（$\mathcal { N } { { j } } f _ { j k }$ 很大），谱线线翼发达，等值宽度由线翼决定

• 阻尼(辐射阻尼+碰撞阻尼)致宽

  $$a_\nu=\frac{e^2}{mc^2}\delta_{jk}\frac{f_{jk}}{(\nu-\nu_{jk})^2+\delta_{jk}^2}\approx\frac{e^2}{mc^2}\delta_{jk}f_{jk}{(\nu-\nu_{jk})^{-2}}\\ a_{\nu_0}=\frac { \sqrt { \pi } e ^ { 2 } } { m _ { e } c } \frac { f _ { j k } } { \Delta \nu _ { D } }$$

对于过渡的 $D_0$ ，需要用普遍公式进行数值积分

将 $W\nu$ 换为更常用的 $W\lambda$

$$\frac { { W } _ { { \lambda } } } { \lambda } = \frac { { W } _ { \nu } } { \nu}$$

积分结果

• 对于弱线($D_0\ll1$ ，或吸收振子数很少)

  • 等值宽度 $W_\lambda$ 与 $R_c$ 无关

  • 对于给定的平均随机运动速度 $ζD$ , $Wλ$ 随 $X0$ 成比例(线性)增大，即 $Wλ$ 随振子柱密度成正比地增加

• 对于中等强度的吸收线($D0 ≥ 55$)，等值宽度 $Wλ$ 随振子柱密度变化很缓慢(对数开方)

• 对于很强的谱线($D0$ 很大)，$Wλ$ 随振子柱密度增大，增大的速度比中等强度谱线快,但比弱线慢（$1/2$ 次方）

• 对于中等强度和强谱线,等值宽度 $W_λ$ 都和 $R_c$ 有关

$D0$ 较小时生长曲线唯一确定，较大时依赖于参数 $a= \delta { { jk } } / \Delta \nu_ { { D } }$ ，$a$ 越大，生长曲线越高

M-E模型(米尔恩和爱丁顿模型)的生长曲线

• 比 S-S 模型更好，但包含假设

  • 在恒星大气里,选择吸收系数 $l_ν$ 和连续吸收系数 $χ$ 的比值不随深度变化

  • 普朗克函数可展开为光深的线性函数

• 无解析解，可画图

理论生长曲线的特点

• 它们都是以正比于振子柱密度的对数为横坐标,以正比于 $W_λ$ 的量的对数为纵坐标来绘出的

• 曲线的形状是大致相同的,即先以 $45$ 度角上升, 此时 $Wλ \sim\mathcal{N j} f {jk} $ ；接着是一个较平坦的过渡部分；最后是一个和阻尼有关的上升部分,此时 $Wλ \sim(\mathcal{N j} f {jk} )^ {1/2} $

• 不同生长曲线之间会有微小差异,但研究表明这些差异是不重要的

观测的生长曲线*

以 S-S 模型为例

• 观测生长曲线通常都是利用多重线来绘出的

  1. 多重线里,各谱线的振子强度的相对值或绝对值容易从理论或实验获得

  2. 多重线是由两个能项之间的跃迁产生的

• 多重线中,各谱线低能级的 $(n, l )$ 和合成的自旋S和轨道L量子数是相同的,只有合成的总角动量量子数J不同,即它们之间的能量差仅由自旋和轨道之间的相互作用有关

• 由玻尔兹曼公式，多重线之间能量差别很小

  $$N _ { r , j } = \frac { N _ { r } } { u _ { r } ( T ) } g _ { r , j } e ^ { - \epsilon _ { r , j } / k T }$$
• 对于每一条多重线，理论生长曲线的横坐标 $\lg D0$ 与 $\lg g_j f{jk}$ 的差是常量——用 $\lg gj f{jk}$ 作横坐标

活动观测生长曲线的方法

• 原理

  • 选取足够多组振子强度已知的多重线

  • 测量每一条谱线的等值宽度

  • 由已知的振子强度和测量得到的等值宽度描绘观测生长曲线

  • 将观测生长曲线与理论曲线进行拟合

  • 通过拟合

    • 确定大气内有关元素的相对含量、

    • 原子的视向速度的最可几值,

    • 谱线的阻尼常数

• 两个假设

  • 对于所有元素，$\zeta_D$ 一样——不同原子质量不同，不正确

  • 对于所有谱线，$\Gamma_{jk}/\nu_0$ 相同

  • 粗略的方法

• 具体方法

  • 在恒星光谱中,选择一系列的 $gj f{jk}$ 已知的多重线(不能选氢)

  • 测量多重线里每一条谱线的等值宽度 $Wλ$ 和 $Wλ /λ$

  • 在图上把每一多重线测得的点绘在 $\lg Wλ /λ-\lg g_j f{jk}$ 坐标上,将测量点用平滑线段连接

  • 选择多个多重线,重复上述步骤,获得对应该多重线的曲线线段

  • 由于不同多重线之间 $\lg D0$ 与 $\lg g_j f{jk}$ 之差不同,因此在利用这些观测量形成观测生长曲线时不同多重线获得线段之间要沿着横坐标轴移动一个移动量,然后组成一条完整的生长曲线

  • 将获得的观测生长曲线沿着理论生长曲线纵、横标轴上移动,与不同的理论生长曲线进行对比,使其与理论生长曲线中的一条达到最佳符合——定出参量 $a=\delta_{jk}/\Delta\nu_D$

  • 这是因为曲线形状主要由 $D_0$ 很大的部分决定( $D_0$ 较小部分都相似)

    $$\frac { W _ { \lambda } } { R } \frac { c } { \lambda _ { 0 } \zeta _ { D } } = \pi ^ { 3 / 4 } \sqrt { a \frac { X _ { 0 } } { R } } \Rightarrow \lg \left( \frac { W _ { \lambda } } { \lambda _ { 0 } } \right) + \lg \left( \frac { c } { R _ { c } \zeta _ { D } } \right) = \lg \pi ^ { 3 / 4 } + \lg a + \lg D _ { 0 }$$

    • 沿横坐标的移动确定 $a$

    • 沿纵坐标移动确定 $\lg \left( { c } /{ R { c } \zeta { D } } \right)$

    • $R_c$ 可以利用分光测量经验求得——定出 $\zeta_D$

    • 利用热运动、湍动和总视向速度的关系，在温度已知的情况下（热运动最可几速度可求），可定出湍动的最可几速度 $\zeta_t$

    • 已知 $a$ 和 $ζ_D$，定出阻尼常数和线心频率的比值

    • 由理论和观测的拟合,我们还可以求得 $D_0$

    • 根据谱线已知的 $f_{jk}$ ，Δν D 和R c ，定出反变层柱密度

    • 再根据玻尔兹曼公式和萨哈公式,进一步得到该元素的原子总数

激发温度

• 定义：利用玻尔兹曼公式定义

  $$\mathcal { N } _ { r , j } = \frac { \mathcal { N } _ { r } } { u _ { r } } { g } _ { r , j } e ^ { - \varepsilon _ { r , j } / k T _ { B } }$$

  由 $D_0$ 的定义推出：

  $$\begin{aligned} \lg D _ { 0 } &= \lg \left[ \frac { 1 } { R _ { c } } \frac { \sqrt { \pi } e ^ { 2 }} { m _ { e } c } \frac { 1 } { \zeta _ { D } } \frac { \mathcal { N } _ { r } } { u _ { r } } \right] + \lg \left( f _ { j k } \lambda _ { 0 } g _ { r , j } \right) - \frac { {\epsilon } _ { r , j } } { k T _ { B } }\lg e\\ &\equiv L+\lg \left( f _ { j k } \lambda _ { 0 } g _ { r , j } \right) - \frac { 5040} { T _ { B } }{ \epsilon } _ { r , j } \\ &=L+\lg X_f \end{aligned}$$

  • 假设振子强度均已知，$T_B$ 初步的值也已经给出，比如 $\tau=0.3$ 时的温度或有效温度

  • 此时 $\lg X_f$ 是对每一条谱线都是已知的，$L$ 对于给定的电离级 $r$ 的每一条谱线都是相同的

  • 从而可以以 $\lg Xf$ 为横坐标，以 $\lg W\lambda/\lambda$ 为纵坐标，画出 $r$ 次电离原子的观测生长曲线，并与理论曲线进行匹配

  • 第一近似值

• 激发温度的第二近似值

  • 以 $\lg(f{jk} λ_0 g {r,j} )$ 为横坐标,采用 $ζD$ 的初值,以 $\lg \left( \frac { 1 } { R } \frac { W { \lambda } } { \lambda } \frac { c } { \zeta _ { D } } \right)$ 为纵坐标作图

  • 每一条谱线给出一个数据点,把属于一个多重线的点连接起来,得到一段曲线

  • 匹配理论生长曲线，得到水平移动距离

    $$Y=\lg D_0-\lg(f_{jk} λ_0 g _{r,j} )=L-\frac { 5040 } { T_B } \epsilon _ { r , j }$$
  • 不同的多重线有不同的 $\epsilon{r,j}$ ，给出不同的 $Y$ ，作出 $Y-\epsilon{r,j}$ 曲线，斜率为 $-5400/T_B$ ，截距为 $L$

  • 利用 $L$ 和第一近似的 $\zeta_D$ 求出 $\mathcal{N_j}$

  • 利用第二近似的激发温度，进行第一近似时相同的操作，给出各物理量的第二近似

生长曲线方法的优缺点

• 优点

  • 提供快速分析恒星光谱的方法来获得一些有意义的物理量,如化学组成(数密度 $N_r$ )、激发温度( $T_B$ )、湍动速度( $ζ_t$ )、阻尼常数等

  • 对于某些大气结构复杂的恒星,如巨星、超巨星等,由于在大气里存在着大规模的湍动,计算它的大气模型和应用准确轮廓分析方法存在很大困难,但生长曲线却能快捷地给出有关巨星和超巨星大气的初步资料

  • 方便地研究有反常化学组成的恒星大气元素丰度

• 缺点

  • 它假定构成同一条生长曲线的谱线都是按照同一种机制形成的,如都是纯散射或纯吸收

  • 它假设构成同一生长曲线的谱线都有相同的 $Γ/ν$ 值，但一般说来，$Γ/ν$ 应是和谱线特性以及谱线形成的有效层有关

  • 它假设构成同一条生长曲线的原子具有相同的 $ζ_D$

  • 最后,对激发温度而言,它假设了 $Y$ 和 $\epsilon_{r,j}$ 存在线性关系,这意味着假设恒星大气的激发温度在一定程度上与深度无关

氢线在研究恒星大气上的应用

• 氢的谱线,特别是巴耳末线系谱线，是光谱中非常重要的谱线

  1. 氢线几乎在所有光谱型恒星、活动星系核、星云等的光谱中出现，特别是氢的巴耳末线系谱线还出现在最容易观测到的可见光光谱区

  2. 氢线是恒星大气中含量最丰富的氢原子产生的

• 本章前面讨论的生长曲线方法不能应用于氢线

  • 因为氢线的致宽主要由斯塔克效应致宽

    • 氢线明显时，自由电子多，斯塔克效应显著

  • 生长曲线建立的基础——谱线的等值宽度与产生谱线的低能级的原子数目（柱密度）之间存在确定关系——不再成立

特殊方法

巴尔末系最后一条分离谱线高能级的主量子数

根据恒星光谱内巴尔末系的、最后一条分离谱线高能级的主量子数确定恒星大气的平均电子浓度

• 观测表明，恒星大气内的巴尔末线系在达到理论系限 $λ3646Å$之前，谱线就已经混合在一起了(谱线不再是分离的)

  • 例如 A0 型星的光谱里，波长短于$λ 3700Å$的光谱区,巴尔末线系谱线就已经混合在一起，与系限外的连续区没有区别

  • A 型星是观测氢线最主要的恒星，过渡星系主要由A型星组成

• 原因：氢原子的高能级被斯塔克效应加宽，主量子数为 $n$ 的相邻能级间隔为

  $$\Delta E_n\approx\frac{e^2}{a_0n^3}$$

  线性斯塔克效应对能级的致宽为

  $$\Delta E=\frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { h ^ { 2 } } { e m } n n _ { F } F = \frac { 3 } { 2 } a _ { 0 } e n n _ { F } F$$

  $n$ 足够大时谱线混合

• 由于能级分裂由微观电场引起，而微观电场的强度按照一定概率分布，因此场强应该是所有场强的平均值

• 英格利斯(D. Inglis)—泰勒公式(E. Teller)

  $$\begin{aligned} \lg N & = \lg 0.027 - 3 \lg a _ { 0 } - 7.5 \lg n _ { u } \\ & = 23.26 - 7.5 \lg n _ { u } \end{aligned}$$

  • $N$ 是造成线性斯塔克效应的粒子数密度

    • 低温下（$ { T } < 10 ^ { 5} \mathrm { K } / { n } _ { { u } }$），离子和电子在谱线致宽上同等重要

      $$N=N_e+N_+\approx2N_e$$
    • 高温下，电子的作用可近似忽略

      $$N=N_e+N_+\approx N_e$$
  • $n_u$ 是最后一条巴尔末系谱线的高能级的主量子数，可由高分辨率光谱的谱线测得

  • 使用方法

    • 用高色散和高分辨率的摄谱仪拍摄恒星的光谱

    • 用某种分光度测量或目视法辨认巴尔末系的最后一条谱线

    • 把该谱线的高能级的主量子数 $n_u$ 带入英格利斯—泰勒公式,算出对应的 $N$ 值

    • 如果 ${ T } < 10 ^ { 5} \mathrm { K } / { n } _ { { u } }$ ，则取 $N_e=N/2$，否则取 $N_e=N$

  • 适用范围

    • 只能定出 $N_e$ 的量级

    • $N_e$ 和深度有关，只能得到一个平均值

    • 巴尔末系的最后一条谱线已经处于谱线的混合区，由于谱线重叠和混合，连续吸收系数在该处很大，以至于观测到的辐射都来至于较薄的大气表面层，因此定出的 $N_e$ 只是大气表面层的平均值

    • 除原子间电场所产生的线性斯塔克效应外，还有其它系列因素，如原子热运动、恒星大气的湍动和恒星自转、摄谱仪的色散度等，都会使谱线加宽，以至于在达到理论系限之前就混合在一起。因此，定出的 $N_e$ 就超过真值

    • 同样适用于碱金属

巴尔末线系谱线的等值宽度

根据巴尔末线系谱线的等值宽度确定氢原子数、平均电子密度和均匀大气厚度

• 恒星光谱中巴尔末线系的谱线深度可以用闵纳特半经验公式

  $$\frac { 1 } { R _ { \lambda } } = \frac { 1 } { R _ { c } } + \frac { 1 } { \tau _ { \lambda } ^ { \sigma } }$$

  其中的光深与第一激发态中性氢原子密度有关

  $$\tau _ { \lambda } ^ { \sigma } = \int N _ { 0,2 } a _ { \lambda } \text{d} h$$
• 氢线主要是线性斯塔克效应致宽，吸收系数

  $$a ( \Delta \lambda ) = ( 2.61 e ) ^ { 3 / 2 } \frac { C N _ { e } } { ( \Delta \lambda ) ^ { 5 / 2 } } = C _ { 1 } \frac { N _ { e } } { ( \Delta \lambda ) ^ { 5 / 2 } }$$

  得到光深

  $$\tau _ { \lambda } ^ { \sigma } = C _ { 1 } \frac { \overline { N } _ { e } \mathcal { N } _ { 0,2 } } { ( \Delta \lambda ) ^ { 5 / 2 } }$$
• 巴尔末线的等值宽度

  $$W_\lambda=\int R_\lambda\text{d}\lambda$$

  全部代进去一算

  $$W_\lambda= 2.642 \left( C _ { 1 } \overline { N } _ { e } \mathcal { N } _ { 0,2 } \right) ^ { 2 / 5 } R _ { c } ^ { 3 / 5 }\\ W _ { \lambda } ^ { 5 / 2 } = C _ { 2 } \overline { N } _ { e } \mathcal{N} _ { 0,2 } R _ { c } ^ { 3 / 2 }$$

  $C2=2.642 ^ { 5 / 2 } C { 1 } = 2.642 ^ { 5 / 2 } ( 2.61 e ) ^ { 3 / 2 } C$ 只与谱线特性有关

  • $\ce{H}\alpha,\lg C _ { 2 } = - 27.80$

  • $\ce{H}\beta,\lg C _ { 2 } = - 28.35$

• 只要从恒星光谱中测得了 $Rc$ 和 $W\lambda$ ，就可以确定 $\overline { N } { e } \mathcal{N} { 0,2 } $，但若要分别确定两者，还需要另一个关系

吸收线等值宽度与柱密度的关系

• 在巴尔末线系里

  • 随着谱线号码 (上能级主量子数) 的增加，吸收线的振子强度的数值不断降低(更大比例原子向下跃迁到其它能级产生连锁效应)

  • 同时斯塔克效应不断增强(裂距正比于主量子数，或原子半径增加库仑力减弱)

  • 恒星大气在巴尔末线内的光学厚度将随着谱线号码的增加而降低

  • 从某一条谱线开始，恒星大气光学薄，$\tau_\lambda^\sigma\ll1$ ，对于这一条谱线

    $$R _ { \lambda } \simeq \tau _ { \lambda } ^ { \sigma } = \int N _ { 0,2 } a _ { \lambda } d h = a _ { \lambda } \mathcal { N } _ { 0,2 }\\ W _ { \lambda } = \int R _ { \lambda } d \lambda = \mathcal { N } _ { 0,2 } \int a _ { \lambda } d \lambda = \frac { \pi e ^ { 2 } f_{2,n}} { m _ { e } c ^ { 2 } } \lambda _ { n } ^ { 2 } \mathcal { N } _ { 0,2 }$$
• 在巴尔末谱线系内选一条号码足够高的谱线，准确测量它的等值宽度，把它代入上式的左端，就可以算出柱密度

• 缺点

  • 很难预期和判断从哪一条巴尔末线开始，恒星大气层将变为光学薄

    • 如果选用的谱线号码偏低,则恒星大气层可能在该频率处还不是光学薄——$f_{2,n}$ 偏大，柱密度偏小

    • 反过来,如果选用号码偏高，则巴尔末线的线翼就会互相重叠，导致用谱线之间部分作连续背景时，连续背景辐射强度就会被显著降低——谱线等值宽度偏小，计算出的柱密度偏低

• 实际中，通常测量很多条巴尔末谱线的等值宽度，计算出每条谱线对应的柱密度，绘出等值宽度与柱密度曲线，曲线对应的柱密度最大值就是最准确柱密度值(依然是下限)