Chapter 1 恒星大气辐射理论基础

引言

恒星大气

  • 恒星大气是指恒星上能被直接观测到的表面层

  • 太阳大气的三个主要层次

    • 光球

      • 大气底层密度较大的部分叫作光球,也就是能用白光观测到的表面层

      • 它的厚度与恒星半径相比一般很小（太阳：500 km，太阳半径的 0.04%）

      • 光学辐射基本上是光球发出的(黑体辐射)，恒星亮度基本上由光球决定:连续(黑体)谱和吸收线谱是在光球层内产生的

    • 色球

      • 紧接着光球的是色球(用单色光可看到的大气部分)

      • 太阳色球层厚度约 2000 km，半径的 0.3%

      • 可在日全食的时既和生光前短暂时刻观测到,也可以用单色光进行观测——红色的辉光，$\ce{H}_\alpha$ 线主导

      • 光谱远紫外区和射电波段有显著贡献,但对可见光区的贡献可忽略不计

      • 在F—M型晚型星和O—A型早型星等大量恒星中观测到与太阳色球物理性质相似的恒星色球层

    • 日冕

      • 太阳大气最外层

      • 厚度数百万千米，远大于太阳半径

      • 可见光辐射可忽略——日全食或日冕仪观测

      • 从射电直至X-射线(韧致辐射或自由-自由辐射)波段都有辐射

      • 观测表明,几乎所有光谱型恒星(除非常冷的超巨星和某些巨星)都有冕

    • 绝大多数恒星的光谱：连续谱+吸收线，在厚度比恒星半径小得多的光球层内形成

    • 极个别有发射线：大气厚度可与恒星的半径相比拟甚至大得多——这种大气称为延展的大气或恒星包层

  • 恒星大气理论的主要任务：通过对恒星光谱的解释来研究恒星大气的物理状态、物理过程和化学组成

    • 恒星大气模型的建立：它的任务是研究恒星大气各个物理量，如温度、压力和密度等随深度的分布

    • 恒星连续光谱的研究

    • 恒星吸收光谱的研究

    • 恒星发射光谱的研究

    • 恒星大气化学组成的研究

宏观描写辐射场的几个基本物理量

辐射强度 $I_\nu$

  • 定义：

    Iν=lim⁡Δσ→0,Δt→0,Δω→0,Δν→0ΔEνΔσcosθΔtΔωΔνI_\nu=\lim_{\Delta\sigma\to0,\Delta t\to0,\Delta\omega\to0,\Delta\nu\to0}\frac{\Delta E_{\nu}}{\Delta\sigma cos\theta\Delta t\Delta\omega\Delta\nu}

其中$\Delta E_\nu$为在$\Delta t$时间间隔内、经过$\Delta\sigma$面元、落在$\Delta \Omega$内、频率在$\nu\to\nu+d\nu$之间的能量。

  • 单色辐射强度：在空间中 $P$ 点，在单位时间内，穿过辐射方向 $\theta$ 上单位横截面积，在单位立体角和单位频率间隔内的辐射能量：

    I=I(P,θ,t,ν)I=I(P,\theta,t,\nu)

  • 单位 $\mathrm { erg }\cdot \mathrm { cm } ^ { - 2 } \cdot \mathrm { sec } ^ { - 1 } \cdot \mathrm { Hz } ^ { - 1 } \cdot\mathrm { Sr } ^ { - 1 }$

  • 只考虑单位横截面积，也就是面元在辐射方向垂直平面上的投影

辐射流 $\pi F$

  • 单色辐射流：在空间中 $P$ 点，在单位时间内，穿过单位面积，在单位频率间隔内的辐射能量(正向通过与反向通过之差)

    πFν=∫4πIνcos⁡θdω\pi F_\nu=\int_{4\pi}I_\nu\cos\theta\text{d}\omega

  • 单位 $\mathrm { erg }\cdot \mathrm { cm } ^ { - 2 } \cdot \mathrm { sec } ^ { - 1 } \cdot\mathrm { Hz } ^ { - 1 } $

  • 与面元在空间里的位置和方向都有关——辐射流矢量

    f⃗(P,ν,t)≡∫4πIνl⃗dω,πFν=f⃗⋅n⃗\vec { f } ( P ,\nu , t ) \equiv \int _ { 4 \pi } I _ { \nu } \vec { l } \mathrm{d} \omega,\\ \pi F_{\nu}=\vec f\cdot\vec n

    $\vec l$ 是立体角元的单位法向矢量，$\vec n$ 是面元单位法向矢量，辐射流是辐射流矢量在法线上的投影

  • 在真空中,沿辐射传播方向的路径上, 辐射强度不变, 但某点的辐射流与该点到辐射源距离的平方成反比

    • 真空中总能量守恒，球面积 $\sim r^2$ ，辐射流 $\sim r^{-2}$

    • 面元$ \Delta\sigma$立体角 $\mathrm{d}\sigma/r^2$ 也是与距离成平方反比，所以辐射强度不随距离变化

  • 沿着半径向外的辐射流——恒星大气和内部我们往往只关注向外的能流，$0<\theta<\pi/2$

    πFν=2π∫0π2Iν(θ)cos⁡θsin⁡θdθ\pi F_\nu=2 \pi \int _ { 0 } ^ { \frac{\pi}{2} } I _ { \nu } ( \theta ) \cos \theta \sin \theta \mathrm{d} \theta

    这里我们已经假设了 $I_\nu$ 与 $\phi$ 无关（旋转对称性）

平均辐射强度 $J$

  • 单色平均辐射强度：取辐射强度对方向的平均

    Jν=14π∫4πIνdωJ_\nu=\frac{1}{4\pi}\int_{4\pi}I_\nu\mathrm{d}\omega

  • 单位 $\mathrm { erg }\cdot \mathrm { cm } ^ { - 2 } \cdot \mathrm { sec } ^ { - 1 } \cdot\mathrm { Hz } ^ { - 1 }$ ——这里已经把立体角积掉了

  • 各向同性的辐射：$I\nu=J\nu$——由于$I_\nu$与角度无关，直接积掉

辐射密度 $U$

  • 单色辐射密度：某一时刻单位体积内所包含的单位频率间隔的辐射能量

    Uν=1c∫4πIνdωU_\nu=\frac{1}{c}\int_{4\pi}I_\nu\mathrm{d}\omega

  • 单位 $\mathrm { erg } \cdot \mathrm { cm } ^ { - 3 } \cdot \mathrm { Hz } ^ { - 1 }$

    推导: 在辐射场中取一个底面积为$\mathrm{d}\sigma$，高度为$\mathrm{d}s$的小体积元$\mathrm{d}V$，设强度为$I\nu(\theta)$的光束通过$\mathrm{d}\sigma$以夹角$\theta$入射到$\mathrm{d}V$内。因此单位时间、单位频率间隔、经过面元$\mathrm{d}\sigma$在$\mathrm{d}\omega$立体角内的辐射能量为$I\nu\mathrm{d}\sigma \cos\theta\mathrm{d}\omega$。光线经过这个体积元需要$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}L}{c}=\frac{\mathrm{d}s}{c\cos\theta}=\sec\theta\mathrm{d}s/c$。在任意时刻t，$t\to t+\mathrm{d}t$ 时间内从$I_\nu$方向进入体积元$\mathrm{d}V$大的辐射都留在体积元内，体积元由此获得的能量为

    dEν=Iνdσcos⁡θdωdt=Iνdσcos⁡θdωsec⁡θdsc=1cIνdωdVdE_\nu=I_\nu\mathrm{d}\sigma\cos\theta\mathrm{d}\omega\mathrm{d}t=I_\nu\mathrm{d}\sigma\cos\theta\mathrm{d}\omega\frac{\sec\theta\mathrm{d}s}{c}=\frac{1}{c}I_\nu\mathrm{d}\omega\mathrm{d}V

    对$\mathrm{d}\omega$积分就得到体积元$\mathrm{d}V$从各个方向的辐射获得的总辐射能$E\nu=\mathrm{d}V\frac{1}{c}\int{4\pi}I\nu\mathrm{d}\omega$，于是单位体积包含的辐射能就有$U\nu=\frac{1}{c}\int{4\pi}I\nu\mathrm{d}\omega$

辐射压力 $P_R$

  • 单色辐射压：单位时间通过单位面积的单位频率间隔辐射所携带的动量——单色辐射垂直施加于单位面积的压力

    PR,ν=1c∫4πIνcos⁡2θdωP_{R,\nu}=\frac{1}{c}\int_{4\pi}I_\nu\cos^2\theta\mathrm{d}\omega

  • 单位 $\mathrm { erg } \cdot \mathrm { cm } ^ { - 3 } \cdot \mathrm { Hz } ^ { - 1 }$，与能量密度同量纲

  • 对于各向同性的辐射（热动平衡）

    PR,ν=23UνP_{R,\nu}=\frac{2}{3}U_\nu

  • 辐射压力是张量

    • 辐射压力依赖于面元的取向,随面元法线的方向不同而不同

    • 辐射本身是矢量,它可以是沿着不同方向传播到该面元，于是总辐射压力是三个方向辐射产生的分压力的矢量叠加

    • 辐射压力还可在空间三个方向上进行分解，同一总压力可以是不同分量组合得到——辐射压力是一个张量

      [PR,ν(r,t)]jk=1c∫4πIν(r,l⃗,t)ljlkdω[{ P } _ {R,\nu} ( r , t )]_{jk} = \frac { 1 } { c } \int _ { 4 \pi } I _ { \nu } ( r , \vec { l } , t ){ l}_j{ l }_k d \omega

发射系数、消光(吸收)系数和源函数

发射系数 $j_\nu$

  • 单位质量的物质在单位时间、单位频率间隔和 $\theta$ 方向单位立体角内发射的能量

    jν=dEνdmdtdνdωj_\nu=\frac{\mathrm{d}E_\nu}{\mathrm{d}m\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu\mathrm{d}\omega}

  • 单位 $\mathrm{ erg } \cdot \mathrm{g}^ { - 1 } \cdot \sec ^ { - 1 } \cdot \mathrm { sr } ^ { - 1 } \cdot\mathrm{Hz} ^ { - 1 }$

  • 通常是位置、方向和频率的函数

吸收系数 $\chi_\nu$

经验公式：

dIν=−χνρIνds\mathrm{d}I_\nu=-\chi_\nu\rho I_\nu\mathrm{d}s

$\chi\nu=-\frac{\mathrm{d}I\nu}{\rho I_\nu\mathrm{d}s}$ 表征辐射通过单位质量的物质后辐射强度的相对减弱。

两侧除以$I\nu$并且积分可以得到：$I\nu=I\nu(0)\exp(-\int_0^s\chi\nu\rho\mathrm{d}s)\equiv I\nu(0)\exp(-\tau{\nu})$经过厚度为 $s$ 的吸收层后，辐射强度指数衰减，指数 $\tau_\nu$ 称为吸收层的光深。

由于辐射的能量正比于辐射的强度，因此我们可以估计光深对光被吸收之后的辐射能量的影响：

  • $\tau\nu>1$ ，光学厚，此时$E\nu<<E\nu(0)$；$\tau{\nu}<1$，光学薄，此时$E\nu\sim E\nu(0)$。

  • 单位 $\mathrm { cm } ^ { 2 } \cdot\mathrm { g } ^ { - 1 }$

源函数 $S_\nu$

  • 发射系数与吸收系数之比

    $ S\nu\equiv j\nu/\chi_\nu$

  • 该定义在辐射转移方程中有重大意义

辐射转移方程

当辐射通过一个既能发射辐射又能吸收辐射的介质时，辐射强度随厚度会发生变化

静止介质中的辐射转移方程

在密度为$\rho$介质中取一块高为$\mathrm{ds}$的圆柱体薄片，令强度为$I\nu$光线垂直进入，能量会发生改变，改变量等于体积元发射与吸收之差（发射系数$j\nu$，而吸收系数为$\chi_\nu$）：

dIνds=(Iνχν−jν)ρ\frac{\mathrm{d}I_\nu}{\mathrm{d}s}=(I_\nu\chi_\nu-j_\nu)\rho

  • 恒星大气层厚度远小于恒星半径——平面平行层近似（最常用，太阳光球层仅为太阳半径的 0.04%）

    取恒星大气层垂直线深度 $h$ 作自变量(沿视线由外向内为正)，则$\mathrm{d}h=-\cos\theta \mathrm{d}s$，再利用光深 $\rho\chi\nu\mathrm{d}h=\mathrm{d}\tau\nu$：

cos⁡θdIνdτν=Iν−Sν\cos\theta\frac{\mathrm{d}I_\nu}{\mathrm{d}\tau_\nu}=I_\nu-S_\nu

  • 恒星大气厚度与半径相当——球坐标系

    普遍的一阶微分方程

cos⁡θ∂Iν∂r−sin⁡θr∂Iν∂θ=Iνχ,ρ−jνρ\cos \theta \frac { \partial I _ { \nu } } { \partial r } - \frac { \sin \theta } { r } \frac { \partial I _ { \nu } } { \partial \theta } = I _ { \nu } \chi _ { , } \rho - j _ { \nu } \rho

  • 与时间有关的辐射场

    含时的微分方程:

    ∂Iν∂s+1c∂Iν∂t=−Iνχνρ+jνρ\frac { \partial I _ { \nu } } { \partial s } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial I _ { \nu } } { \partial t } = - I _ { \nu } \chi _ { \nu } \rho + j _ { \nu } \rho

辐射转移方程的解及其物理意义

辐射转移方程的解

把光球内每一点向外的辐射和向内的辐射分开处理：

  • 向外辐射：辐射方向用 $\theta\in[0,\pi/2)$ 表示，$\cos\theta>0$

  • 向内辐射：辐射方向用 $\psi\equiv\pi-\theta\in[0,\pi/2)$表示

辐射转移方程化为两个方程，具有相似的解：

  • 由内向外辐射的形式解，注意在介质表面上光深为 0​

    Iν(θ,τν)=Cνeτνsec⁡θ+∫τν∞Sνe−(tν−τν)sec⁡θsec⁡θdtνI_\nu(\theta,\tau_\nu)=C_\nu e^{\tau_\nu\sec\theta}+\int_{\tau_\nu}^\infty S_\nu e^{-(t_\nu-\tau_\nu)\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}t_\nu

    • 物理意义

      • 第二项：光深大于 $\tau\nu$ 的所有物质层的发射传播到光深 $\tau\nu$ 处的叠加

      • 第一项：上述物质辐射以外的附加成分——只能来自光深无穷处，强度为无穷大的辐射，实际上不存在，因而第一项系数 $C_\nu$ 为 $0$

        Cνeτνsec⁡θ=lim⁡tν→∞Cνetνsec⁡θe−(tν−τν)sec⁡θC_\nu e^{\tau_\nu\sec\theta}=\lim_{t_\nu\to\infty}C_\nu e^{t_\nu\sec\theta} e^{-(t_\nu-\tau_\nu)\sec\theta}

    • 一般表达式

      Iν(θ,τν)=∫τν∞Sνe−(tν−τν)sec⁡θsec⁡θdtνI_\nu(\theta,\tau_\nu)=\int_{\tau_\nu}^\infty S_\nu e^{-(t_\nu-\tau_\nu)\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}t_\nu

  • 由外向内辐射的形式解（与向外辐射符号有区别）

    Iν(ψ,τν)=Dνe−τνsec⁡ψ+∫0τνSνe(tν−τν)sec⁡ψsec⁡ψdtνI_\nu(\psi,\tau_\nu)=D_\nu e^{-\tau_\nu\sec\psi}+\int_0^{\tau_\nu} S_\nu e^{(t_\nu-\tau_\nu)\sec\psi}\sec\psi\mathrm{d}t_\nu

    • 物理意义

      • 第二项：光深小于 $\tau\nu$ 的所有物质层的发射传播到光深 $\tau\nu$ 处的叠加

      • 第一项：上述物质辐射以外的附加成分——来自光球层外（一般可以忽略，但是密近双星以及受主星照射的行星大气、受冕照射的吸积盘不能忽略）

    • 一般表达式

      Iν(ψ,τν)=∫0τνSνe(tν−τν)sec⁡ψsec⁡ψdtνI_\nu(\psi,\tau_\nu)=\int_0^{\tau_\nu} S_\nu e^{(t_\nu-\tau_\nu)\sec\psi}\sec\psi\mathrm{d}t_\nu

  • 形式解包含源函数，必须知道源函数的形式及其随光深的分布

局部热动平衡假设

理想热动平衡

对于绝热封闭系统中的辐射场

  • 可以定义温度（在体系各处相同），且温度不随时间改变

  • 热辐射均匀而各向同性，数值由普朗克函数决定

    Bν(T)=2hν3c21ehν/kT−1B _ { \nu } ( T ) = \frac { 2 h \nu ^ { 3 } } { c ^ { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { h \nu / k T } - 1 }

  • 热发射系数和热吸收系数之间的关系满足基尔霍夫定律(吸收与发射达到平衡)

    jν=χνBν(T)j_\nu=\chi_\nu B_\nu(T)

  • 电子的速度分布、原子的激发和电离可以分别用与系统温度T对应的麦克斯韦速度分布定律、波尔兹曼公式和萨哈公式来描述

局部热动平衡假设

由于恒星中心温度极高，而外面的星际介质温度却很低，恒星内部各部分很难达到同样的温度（热传导效率不够高），因此上述理想热动平衡无法再真正的恒星中实现。但是只要恒星是稳定的，我们就可以引入某个分布量（例如温度$T$）来描述系统的局部性质，局部地应用理想热动平衡关系。

  • 恒星内部存在温度分布——引入温度描述系统的局部性质

    • 对恒星大气内每一点 $P$，可以用一个温度 $T$ 来描述(碰撞足够多)

    • $P$ 点附近的体元就像绝热地封闭在一个温度为 $T$ 的封闭系统中一样

    • 对于这个小体元，与局部温度对应的理想热动平衡严格成立

  • 实际应用时需要检验

    • 把理论结果与观测进行对比

    • 检查假设下解出的恒星大气物理条件是否允许局部热动平衡规律成立

  • 源函数 $S\nu=j\nu/\chi\nu=B\nu(T)$

  • 辐射转移方程简化为

    cos⁡θdIνdτν=Iν(θ,τν)−Bν(T)\cos\theta\frac{\mathrm{d}I_\nu}{\mathrm{d}\tau_\nu}=I_\nu(\theta,\tau_\nu)-B_\nu(T)

    仍需了解 $B_\nu(T)$ 随光深的分布

辐射平衡

辐射平衡条件

对流（大气稳定，无对流层）和热传导（温度梯度小）的作用可忽略不计，因此主要通过辐射完成能量的转移和交换，能量平衡条件变为 辐射平衡条件

每一体元单位时间获得和损失的总能量相等 $\Rightarrow$ 发射=吸收

考虑体元 $\mathrm{d}V=\mathrm{d}\sigma\cdot\mathrm{d}s$ 的全部立体角和辐射的所有频率

E+=dm∫0∞dν∫4πχνIνdωE−=dm∫0∞dν∫4πjνdωE_+=\mathrm{d}m\int_0^\infty\mathrm d\nu\int_{4\pi} \chi_\nu I_\nu \mathrm d\omega\\ E_-=\mathrm{d}m\int_0^\infty\mathrm d\nu\int_{4\pi}j_\nu \mathrm d\omega

两者相等，$\chi_\nu$ 各向同性

∫0∞dν∫4πχνIνdω=∫0∞dν∫4πjνdω⇒4π∫0∞χνJνdν=∫0∞dν∫4πjνdω\int_0^\infty\mathrm d\nu\int_{4\pi} \chi_\nu I_\nu \mathrm d\omega=\int_0^\infty\mathrm d\nu\int_{4\pi}j_\nu \mathrm d\omega\\ \Rightarrow 4\pi\int_0^\infty\mathrm \chi_\nu J_\nu d\nu =\int_0^\infty\mathrm d\nu\int_{4\pi}j_\nu \mathrm d\omega

利用局部热动平衡假设$j\nu=\chi\nu B_\nu$ 可以进一步化简：

∫0∞χνJνdν=∫0∞χνBνdν\int_0^\infty\chi_\nu J_\nu\mathrm d\nu=\int_0^\infty\chi_\nu B_\nu\mathrm d\nu

辐射平衡条件下的总辐射流

  • 在辐射平衡的平面平行层大气里，总辐射流是一个不随深度变化的常数

    ddh(πF)=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d h}(\pi F)=0

  • 单色辐射流和延伸(非平面平行)光球的总辐射流不满足这样的规律

辐射平衡条件下的辐射压

  • 单色辐射压

    dPR,νdh=πcχνρFν\frac { \mathrm d P _ { R,\nu } } { \mathrm d h } = \frac { \pi } { c } \chi _ { \nu } \rho F _ { \nu }

  • 总辐射压

    dPRdh=∫0∞πcχνρFνdν≡πcχ‾ρF\frac { \mathrm d P _ { R } } { \mathrm d h } = \int_0^\infty\frac { \pi } { c } \chi _ { \nu } \rho F _ { \nu }\mathrm d\nu\equiv\frac { \pi } { c } \overline\chi \rho F

    $\overline\chi$ 是以单色辐射流为权重，对频率加权的平均吸收系数

    \chi=\frac{\int^\infty_0\chi_\nu F_\nu\ce{d}\nu}{\int^\infty_0F_\nu\ce{d}\nu}

  • 引入平均光深，$\mathrm d\overline\tau=\overline\chi\rho\mathrm d h$ ，得到辐射压随光深的变化率

    dPRχ‾ρdh=dPRdτ‾=πcF\frac { \mathrm d P _ { R } } { \overline\chi \rho\mathrm d h } = \frac { \mathrm d P _ { R } } { \mathrm d \overline\tau }=\frac { \pi } { c } F

    是一个常数——在辐射平衡条件下，总辐射压力对光学厚度的微商是常数

  • 仍然需要知道温度随光深的分布，这要求给出吸收系数随光深的分布

灰大气的温度分布和辐射强度的第一近似

  • 灰色物质：吸收系数$\chi_\nu$ 与频率$\nu$无关——灰大气

  • 辐射转移方程对频率$\nu$积分为 (光深不随频率变化)： $\mathrm{d}\tau_\nu=\mathrm{d}\tau=\chi\rho\mathrm{d}h$

    cos⁡θdI(θ,τ)dτ=I(θ,τ)−B(T)\cos\theta\frac{\mathrm{d}I(\theta,\tau)}{\mathrm{d}\tau}=I(\theta,\tau)-B(T)

  • 辐射平衡条件简化为

    B(T)=∫0∞Jνdν=J(τ)B(T)=\int_0^\infty J_\nu\mathrm d\nu=J(\tau)

    其中$J(\tau)=\int0^\infin J\nu\mathrm{d}\nu$为总平均辐射强度

    此时辐射转移方程：

    cos⁡θdI(θ,τ)dτ=I(θ,τ)−J(τ)\cos\theta\frac{\mathrm{d}I(\theta,\tau)}{\mathrm{d}\tau}=I(\theta,\tau)-J(\tau)

    是关于 $\tau$ 的积分微分方程

爱丁顿近似法（辐射强度平均法）

引入三个对方向平均的参量

J=14π∫4πI(θ)dωH=14π∫4πI(θ)cos⁡θdω=14FK=14π∫4πI(θ)cos⁡2θdω=c4πPRJ=\frac{1}{4\pi}\int_{4\pi}I(\theta)\mathrm{d}\omega\\ H=\frac{1}{4\pi}\int_{4\pi}I(\theta)\cos\theta\mathrm{d}\omega=\frac{1}{4}F\\ K=\frac{1}{4\pi}\int_{4\pi}I(\theta)\cos^2\theta\mathrm{d}\omega=\frac{c}{4\pi}P_R

以$\cos\theta(d\omega/4\pi)$乘以灰大气辐射转移方程$\cos\theta\frac{\mathrm{d}I(\theta,\tau)}{\mathrm{d}\tau}=I(\theta,\tau)-J(\tau)$并对所有立体角积分，得到$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}\tau}=H$

辐射平衡下，$F$是常数，因此$H$ 也是常数，$K$ 对 $\tau$ 的导数恰为 $H$，$K=H\tau+C$

  • 爱丁顿引入第一近似，假设辐射强度随方向缓变，对于 $0\le\theta<\pi/2$ 和 $\pi/2\le\theta<\pi$ 分别取泰勒展开的零级近似 $I_1$ 和 $I_2$，代表向外和向内的辐射强度，它们与方向无关，仅与光深有关：

    J=12(I1+I2), H=14(I1−I2), K=13JJ=\frac{1}{2}(I_1+I_2),\ H=\frac{1}{4}(I_1-I_2),\ K=\frac{1}{3}J

  • $\tau=0$ 时没有传入的辐射，$I_2(0)=0$

    J(0)=12I1(0), H=14I1(0),K(0)=13J(0)=23H⇒K=(τ+23)H, J=(3τ+2)HJ(0)=\frac{1}{2}I_1(0),\ H=\frac{1}{4}I_1(0),\\ K(0)=\frac{1}{3}J(0)=\frac{2}{3}H\\ \Rightarrow K=\left(\tau+\frac{2}{3}\right)H,\ J=\left(3\tau+2\right)H

  • 由 Stefan-Boltzmann 定律

    πB=σT4πF=σTeff4\begin{align} \pi B&=\sigma T^4\\ \pi F&=\sigma T_{eff}^4 \end{align}

    前一个公式根据黑体辐射函数$B_\nu(T)$对频率、空间积分得到，$\pi B$是温度的函数，在恒星内部随真实温度$T$有一个分布：

    πB=∬4πBν(T)cos⁡θdωdν=σT4\pi B = \iint_{4\pi}B_\nu(T)\cos\theta \mathrm{d}\omega \mathrm{d}\nu=\sigma T^4

    而后一个公式则是有效温度 $T_{eff}$ 的定义，可以通过观测直接得到。

  • 结合辐射平衡条件 $B=J$ 和定义 $H=F/4$

    T4=Teff42(1+32τ)T ^ { 4 } = \frac { T _ { e f f } ^ { 4 } } { 2 } \left( 1 + \frac { 3 } { 2 } \tau \right)

  • $\tau=0$ 给出表面温度为

    T0=Teff424T_0=\sqrt[4]{\frac{T_{eff}^4}{2}}

  • 解出有效温度对应的光深 $\tau=2/3$ ——有效层

  • 得到向内和向外的辐射强度

    I1=J+2H=H(4+3τ)I2=J−2H=3Hτ{ I _ { 1 } = J + 2 H =H( 4 + 3 \tau ) } \\ { I _ { 2 } = J - 2H = 3 H \tau }

太阳圆面的临边昏暗规律

  • 太阳圆面(日轮)各处的亮度是不均匀的。圆面中心亮度最大,愈向边缘,亮度愈小,颜色越黄。边缘区域亮度只有中心的40%左右——临边昏暗

  • 等价于考虑 $I_\nu(\theta,0)$ 随 $\theta$ 的分布，$\theta$ 是太阳圆面上一点对应半径与观测者视线方向夹角，从中心到边缘由 $0$ 变化到 $\pi/2$

定性研究

对于太阳表面

Iν(θ,0)=∫0∞Bνe−tνsec⁡θsec⁡θdtνI_\nu(\theta,0)=\int_{0}^\infty B_\nu e^{-t_\nu\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}t_\nu

由于

∫0∞e−tνsec⁡θsec⁡θdtν=1\int_{0}^\infty e^{-t_\nu\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}t_\nu=1

则在等式左侧右侧除以1：

Iν(θ,0)=∫0∞Bνe−tνsec⁡θsec⁡θdtν∫0∞e−tνsec⁡θsec⁡θdtνI_\nu(\theta,0)=\frac{\int_{0}^\infty B_\nu e^{-t_\nu\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}t_\nu}{\int_{0}^\infty e^{-t_\nu\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}t_\nu}

$I\nu$ 可以看作 $B\nu$ 在分布函数 $e^{-t\nu\sec\theta}\sec\theta$ 下的期望，显然光深较小时的 $B\nu$ 的权重更大

对于较小的 $\theta$ ，$\sec\theta$ 小，有显著贡献的光深更大，而光深越大温度越高（恒星温度由内而外递减），$B_\nu$ 也就越大，从而此时的辐射强度较大，对应日轮中心更明亮

定量研究

  • 化成总辐射强度，并引入温度分布规律

    I(θ,0)=∫0∞B(τ)e−τsec⁡θsec⁡θdτ=F4∫0∞(2+3τ)e−τsec⁡θsec⁡θdτ=F2(1+32cos⁡θ)\begin{aligned} I(\theta,0)&=\int_{0}^\infty B(\tau) e^{-\tau\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{F}{4}\int_{0}^\infty (2+3\tau) e^{-\tau\sec\theta}\sec\theta\mathrm{d}\tau\\ &=\frac { F } { 2 } \left( 1 + \frac { 3 } { 2 } \cos \theta \right) \end{aligned}
    ⇒I(0,0)=54F, I(θ,0)=I(0,0)(25+35cos⁡θ)=I(0,0)(1−u+ucos⁡θ)\Rightarrow I(0,0)=\frac{5}{4}F,\ I(\theta,0)=I ( 0,0 ) \left( \frac { 2 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 } \cos \theta \right) = I ( 0,0 ) \left( 1 - u + u\cos \theta \right)

  • 这里 $u=0.6$ ，观测给出 $u=0.56$

  • 取 $\theta=\pi/2$ ，辐射强度为中心的 40%，符合得很好

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