# Chapter 2 恒星大气的连续不透明度

## 引言

### 这些光谱为啥长这样

1. 典型恒星光谱: 有一定减弱的连续谱（明显偏离黑体谱）和丰富的吸收线，晚型星比早型星减弱严重，O、B星温度高，辐射峰值在紫外
2. 典型双星中矮恒星光谱:连续谱和吸收线谱变复杂、宽度变宽
3. 典型Brown Dwarf（褐矮星）光谱: 吸收线变宽以至于连续谱几乎全被吸收
4. 类星体光谱: 很强的宽发射线和窄发射线；高红移类星体: 在波长短于Ly系限几乎被全部吸收

### 基本概念

观测到的恒星辐射是整个恒星大气层的发射经过吸收后叠加的结果

#### 两种吸收

1. 在较宽的、连续的频率范围内使辐射减弱的过程称为**连续吸收**——占主导
2. 只在谱线的频率范围内使辐射减弱的过程称为**线吸收**

#### 不透明度

* 大气的不透明程度，**恒星大气物质对辐射吸收能力强弱**的一种量度
* 通常是用**吸收系数**或对频率而言的某种平均吸收系数来表示——只讨论连续吸收系数或连续不透明度

### 恒星大气化学组成（化学丰度）

通过对天体光谱研究发现，银河系中大多数恒星的化学组成和太阳类似，有部分恒星的化学组成反常

#### 表征化学组成的物理量

1. 第s种元素相对于第一种元素（往往是H，因为多）按原子数目计算的相对含量:

   $$
   a \_ { s } = \frac { N \_ { s } } { N \_ { 1 } }
   $$
2. 第s种元素相对于所有元素按原子数目计算的百分比含量:

   $$
   a \_ { s }（ %） = \frac {  { N } \_ { s } } { \sum \_ { j } { N } \_ { j } } \times 100
   $$
3. 按质量计算的相对含量及百分比含量：

   $$
   \alpha \_ { s } = \frac { N \_ { s } m \_ { s } } { N \_ { 1 } m \_ { 1 } }
   $$

$$
\alpha \_ { s }（ %） = \frac {  { N } \_ { s } m \_ { s } } { \sum \_ { j } { N } \_ { j } m \_ { j } } \times 100
$$

1. 标准的（宇宙的）化学组成：太阳大气组成，常用 $\lg a \_ { s } + 12.00$ 表示

## 原子结构和能级\*

### 原子的定态能级

#### 四个量子数 $\left( n ， l ， m *{ l } ， m* { s } \right)$

1. $n$ 主量子数，电子量子化轨道半径大小
2. $l$ 角量子数，反映电子轨道角动量（ $rm\_e v$ ）的大小，可取值 $0，1，2， ...， n-1$
3. $m\_l$ 轨道磁量子数，轨道角动量$z$向投影，$0,\pm1,\cdots,\pm l$，共$2l+1$个
4. $m\_s$ 自旋磁量子数，自旋角动量$z$向投影，$\pm 1/2$，共2个

   **类氢原子（核外只有一个电子）**

   不受外磁场时，能量只由 $n$ 决定——简并，简并度只需考虑量子数的取值，为 $2n^2$，又称为统计权重，定态能量为：

   $$
   E \_ { n } = - R \_ { \infty } h c \frac { Z ^ { 2 } } { n ^ { 2 } }
   $$

   其中 $R \_ { \infty } = 1.097 \times 10 ^ { - 5 } \mathrm { cm } ^ { - 1 }$ 是里德伯常量

#### 碱金属原子（原子实 + 价层电子）

**原子实**

是由原子核和满壳层的电子组成的体系，其**总轨道角动量**和**总自旋角动量**都是零，但原子实外的价电子所受的力不再是**简单的库仑力**，要考虑**原子实的极化**以及**电子轨道在原子实中的穿透**

**简并打开**

* 原子的能量会因为价电子的轨道角动量（椭率）不同而不同（因而穿透程度不同）
* 电子轨道角动量与自旋角动量的相互作用又使具有相同主量子数和轨道量子数
* $（n，l）$ 的能级按照总角动量量子数j的两个数值$l \pm 1/2$一分为二 于是,描写碱金属原子定态的量子数，即价电子的量子数，可取为 $(n，l，j，m\_j)$
* 当外场不存在时,碱金属原子的能级只由量子数 $（ n，l，j ）$ 决定，因此能级简并度或统计权重为 $2j+1$

#### 多电子原子

由原子实外所有价电子的状态决定，用 $\left( n *{ 1 } l* { 1 } , n *{ 2 } l* { 2 } , n *{ 3 } l* { 3 } , \cdots \right)$ 来表示价电子的电子组态

**$LS$ 耦合**

电子**自旋之间**的相互作用强，各电子**轨道运动之间**相互作用也很强，互相穿越严重 **轨道运动和自旋**之间相互作用弱 ——先分别合成整个体系的自旋/轨道角动量，再合成总角动量

**$jj$ 耦合**

电子**自旋之间**，各电子**轨道运动之间**相互作用弱 **轨道运动和自旋**之间相互作用强 ——先分别合成各自的总角动量，再合成体系的总角动量

大多数原子—— $LS$耦合 某些**高激发态**和**较重**的原子——$jj$耦合 一些原子的能级结构不能单独用其中一种近似而介于两种耦合之间

**光谱项（能级符号）**

$LS$耦合下能级 $i$ 的符号：

$$
\left(n \_ { 1 } l \_ { 1 } , n \_ { 2 } l \_ { 2 } , n \_ { 3 } l \_ { 3 } , \cdots \right) ^ { 2 S + 1 } L \_ { J }\to ^ { 2 S + 1 } L \_ { J }
$$

$$
S,P,D,F,G,\cdots\sim L = 0,1,2,3,4 , \dots
$$

简并度（统计权重）：$2J+1$

### 基态

原子能量的最低状态——天体物理中习惯取为原子能量零点 1. 氢原子：$n=1,\quad1s^1\quad^2S*{1/2}$ 2. 碱金属原子钠（一般只写原子实），$3s^1\quad^2S*{1/2}$

## 原子的激发和电离

### 激发

1. 自发辐射：当原子停留在某一非基态的定态时,处于高能态（激发电势 $\varepsilon*k$ ）的原子会自发地跃迁到低能态（ $\varepsilon\_k$ ）而同时辐射出光量子（频率 $\nu*{jk}$ ）
2. 光致激发/激发过程：当原子处于辐射场中时,处于低能态的原子如果吸收了一个能量刚好和高、低态能量之差对应的光量子,原子就会从低能态跃迁到高能态上去
3. 激发能：把原子从基态激发到某一能态所需要施给的能量
4. 碰撞激发：通过非弹性碰撞激发，部分动能转化为内能（第一类碰撞），也有对应的碰撞退激发（第二类碰撞）

   **电离（束缚——自由跃迁）**

   供给原子以足够的能量,则原子不仅可以激发到更高能量,甚至可以使电子脱离原子,即电子从束缚状态变到自由状态,系统总能大于零

   **复合**

   自由电子通过和带正电荷离子（或原子）结合重新形成中性原子（负离子）的过程，电子可能落到原子的任何能级上，复合过程辐射出的光子频率与复合后原子的能级，复合前自由电子的速度都有关

   **原子电离级**
5. 中性 $\ce{FeI}$，一次电离 $\ce{FeII}$，...
6. 中性 $\ce{Fe}$，一次电离 $\ce{Fe+}$，两次电离 $\ce{Fe++}$，...

   **电离电势和光电效应方程**
7. 电离电势 $\chi\_r$：把一个处于基态的$r$次电离原子电离所需的最小能量
8. 激发电势 $\varepsilon\_{r,k}$：一个处于基态的$r$次电离原子激发到$k$能级所需的能量
9. 结合能 $\chi\_{r,k}$：把原子从某一个激发能级电离所需要的最小能量

   $$
   \chi \_ { r } = \chi \_ { r , k } + \varepsilon \_ { r , k }
   $$
10. 光电效应（基态，$k$能级）：

    $$
    h \nu = \chi \_ { r } + \frac { 1 } { 2 } m \_ { e } v ^ { 2 }
    $$

$$
h \nu = \chi \_ { r,k } + \frac { 1 } { 2 } m \_ { e } v ^ { 2 }
$$

1. 碰撞电离：第一类碰撞造成的电离

   **玻尔兹曼公式**

   计算原子在各个能级上的数目,从而能够预测由这些能级出发的物理过程的相对重要性，如**谱线强度**、**吸收线强度**

   $$
   \frac { N \_ { k } } { N \_ { i } } = \frac { g \_ { k } } { g \_ { i } } e ^ { - \left( \varepsilon \_ { k } - \varepsilon \_ { i } \right) / k T }
   $$

   这是玻尔兹曼公式给出的不同能级上原子数目（单位体积内）之比

   对于同一电离级的原子：

   $$
   \frac {  { N } \_ { r , k } } { { N } \_ { r , i } } = \frac {  { g } \_ { r , k } } {  { g } \_ { r , i } } e ^ { - \left( \varepsilon \_ { r , k } - \varepsilon \_ { r , i } \right) / k T }
   $$

   方便起见，改写为**对数**形式，温度单位K，注意**激发势能的单位是电子伏特**，$1 \mathrm { eV } = 1.16 \times 10 ^ { 4 } \mathrm { K }$，由玻尔兹曼常数换算：

   $$
   \lg \frac { N \_ { r , k } } { N \_ { r , i } } = \lg \frac { g \_ { r , k } } { g \_ { r , i } } - \left( \varepsilon \_ { r , k } - \varepsilon \_ { r , i } \right) \frac { 1 } { T } \frac { \lg e } { k }=\lg \frac { g \_ { r , k } } { g \_ { r , i } } - \left( \varepsilon \_ { r , k } - \varepsilon \_ { r , i } \right) \frac { 5040 } { T }
   $$

   原子在电离级 $r$ 上的总数目：

   $$
   N \_ { r } = \sum \_ { i } N \_ { r , i } = N \_ { r , 1 } \sum \_ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { N \_ { r , i } } { N \_ { r , 1 } } =\frac { N \_ { r , 1 } } { g \_ { r , 1 } } \left( g \_ { r , 1 } + g \_ { r , 2 } e ^ { - \varepsilon \_ { r , 2 } / k T } + \cdots \right)
   $$

态和（配分函数）：

$$
u \_ { r } ( T ) = \sum \_ { i = 1 } ^ { \infty } g \_ { r , i } e ^ { - \varepsilon \_ { r , j } / k T }
$$

$r$ 级电离原子总数、任一能级上的原子数：

$$
N \_ { r } = \frac { N \_ { r , 1 } } { g \_ { r , 1 } } u \_ { r } ( T )
$$

$$
N \_ { r , 1 } = \frac { g \_ { r , 1 } } { u \_ { r } ( T ) } N \_ { r }
$$

$$
N \_ { r , i } = \frac { g \_ { r , i } } { u \_ { r } ( T ) } N \_ { r } e ^ { - \varepsilon \_ { r , i } / k T }
$$

### 萨哈公式

处理原子电离、以及不同电离级之间的情况——电离原子看成中性原子的连续态 电子能量（取基态能量为0）

$$
E = \chi \_ { 0 } + \frac { 1 } { 2 m \_ { e } } \left( p \_ { 1 } ^ { 2 } + p \_ { 2 } ^ { 2 } + p \_ { 3 } ^ { 2 } \right)
$$

由统计力学知识可得电子的态密度（ $V*0$ 为自由电子所能到达的体积，对于一次电离，$N* { e } V \_ { 0 } = 1$）

$$
\mathrm{d}g\_e=\frac{4\pi V\_0p^2\mathrm{d}p}{h^3}\times2
$$

$2$ 来自自旋的简并

原子的态密度 $\mathrm{d}g*c$ 只需再乘上基态的简并度 $g*{1,1}$，根据玻尔兹曼公式有：

$$
\frac { \mathrm{d}N  \_ { 1,1 } } { N \_ { 0,1 } } = \frac { \mathrm{d} g \_ { c } } { g \_ { 0,1 } } e ^ { - E / k T } = \frac { 2 g \_ { 1,1 } } { g \_ { 0,1 } } \frac { 4 \pi V \_ { 0 } p ^ { 2 } \mathrm{d} p } { h ^ { 3 } }  e ^ { - \chi \_ { 0 } / k T } e ^ { - p ^ { 2 } / 2 m \_ { s } k T }
$$

积分即得：

$$
\frac { N \_ { 1,1 } } { N \_ { 0 , 1 } }=\frac { 2 g \_ { 1,1 } } { g \_ { 0,1 } } \frac { \left( 2 \pi m \_ { e } k T \right) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } V \_ { 0 } e ^ { - \chi \_ { 0 } / k T }
$$

注意到利用 $\Gamma$ 函数的性质可以轻松计算：

$$
\int \_ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - p ^ { 2 } / 2 m \_ { e } k T } p ^ { 2 } \mathrm{d} p=(2m\_ekT)^{3/2}\frac{\Gamma(3/2)}{2}=(2m\_ekT)^{3/2}\frac{\sqrt{\pi}}{4}
$$

利用 $N\_{e}$ 和 $V\_0$ 的关系，得到：

$$
\frac { N \_ { 1,1 } } { N \_ { 0 , 1 } }N\_e=\frac { 2 g \_ { 1,1 } } { g \_ { 0,1 } } \frac { \left( 2 \pi m \_ { e } k T \right) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } e ^ { - \chi \_ { 0 } / k T }=\frac { 2 g \_ { 1,1 } } { g \_ { 0,1 } } \lambda^{-3} e ^ { - \chi \_ { 0 } / k T }
$$

$\lambda$ 是热波长

考虑每一个能级，则将统计权重换成态和，将单位体积基态离子数换为相应电离级的总原子数，得到：

$$
\frac { N \_ { 1 } } { N \_ { 0 } } N \_ { e } = \frac { 2 u \_ { 1 } ( T ) } { u \_ { 0 } ( T ) } \frac { \left( 2 \pi m \_ { e } k T \right) ^ { 3 / 2 } } { h ^ { 3 } } e ^ { - \chi \_ { 0 } / k T }
$$

用理想气体的压强表达式代入电子压强，最终得到**萨哈公式**：

$$
\frac { N \_ { 1 } } { N \_ { 0 } } p \_ { e } = \frac { 2 u \_ { 1 } ( T ) } { u \_ { 0 } ( T ) } \frac { \left( 2 \pi m \_ { e } \right) ^ { 3 / 2 } ( k T ) ^ { 5 / 2 } } { h ^ { 3 } } e ^ { - \chi \_ { 0 } / k T }
$$

一般形式给出 $r+1$ 次电离原子与 $r$ 次电离原子数目之比：

$$
\frac { N \_ { r + 1 } } { N\_r } p \_ { e } = \frac { 2 u \_ { r + 1 } ( T ) } { u \_ { r } ( T ) } \frac { \left( 2 \pi m \_ { e } \right) ^ { 3 / 2 } ( k T ) ^ { 5 / 2 } } { h ^ { 3 } } e ^ { - \chi \_ { r } / k T } \equiv K \_ { r } ( T )
$$

萨哈公式表明：

1. 固定 $p\_e$ ，原子电离程度随 $T$ 升高
2. 固定 $T$ ，原子电离程度随 $p\_e$ 降低

   对数形式：

   $$
   \lg \frac { N \_ { r + 1 } } { N \_ { r } } = \lg \frac { 2 u \_ { r + 1 } ( T ) } { u \_ { r } ( T ) } + \frac { 5 } { 2 } \lg T - \frac { 5040 } { T } \chi \_ { r } - \lg p \_ { e } - \lg \frac { \left( 2 \pi m \_ { e } \right) ^ { 3 / 2 } k ^ { 5 / 2 } } { h ^ { 3 } } ( = 0.48 )
   $$

由于态和随能量增加迅速收敛，只需考虑 $\varepsilon \_ { r , i } \leq k T$ 的激发项

可以进一步简化方程的形式，引入**电离度**，即所考虑的元素原子的总数目中，$r$ 次电离原子所占的比例

$$
X \_ { r } = \frac { N \_ { r } } { N } = \frac { N \_ { r } } { N \_ { 0} + N \_ { 1 } + \cdots + N \_ { r } + \cdots }
$$

绝大多数的原子都位于相邻电离级：

$$
N\approx{N\_r+N\_{r+1}}
$$

$$
N(1-X\_{r+1})\approx N\_{r},\quad NX\_{r+1}=N\_{r+1}
$$

近似有：

$$
\frac{X\_{r+1}}{1-X\_{r+1}}p\_e=K\_r(T)
$$

### 原子跃迁概率系数

自发跃迁、受激跃迁（吸收）、受激发射（诱导发射）

#### 自发发射概率系数 $A\_{ki}$

在没有外场的情况下,单位时间一个原子从高能级 $k$ 跃迁到低能级 $i$ 同时在 $\mathrm{d}\omega$ 立体角内发射一个能量为 $h\nu*{ki}$ 的光量子的概率为 $A* { k i } \mathrm{d} \omega / 4 \pi$

#### 受激发射概率系数 $B\_{ki}$

在强度为 $I*\nu$ 的**辐射场作用下**,单位时间一个原子从高能级 $k$ 跃迁到低能级 $i$ 同时在 $\mathrm{d}\omega$ 立体角内发射一个能量为 $h\nu*{ki}$ 的光量子的概率为 $B *{ k i } I*\nu\mathrm{d} \omega / 4 \pi$

#### 受激吸收概率系数 $B\_{ik}$

受激发射的逆过程

综上：

$$
n \_ { k \rightarrow i } = N \_ { k } \left( A \_ { k i } + B \_ { k i } I \_ { \nu } \right) \mathrm{d} \omega / 4 \pi
$$

$$
n \_ { i \rightarrow k } = N \_ { i }  B \_ { ik } I \_ { \nu }  \mathrm{d} \omega / 4 \pi
$$

由**细致平衡原理**，过程和逆过程概率相等：

$$
A \_ { k i } + B \_ { k i } I \_ { \nu } = \frac { N \_ { i } } { N \_ { k } } B \_ { i k } I \_ { \nu }=\frac { { g } \_ { i } } { { g } \_ { k } } e ^ { - \left( \varepsilon \_ { i } - \varepsilon \_ { k } \right) / k T } B \_ { i k } I \_ { \nu }
$$

$$
I \_ { \nu } = \frac { \left( A \_ { k i } / B \_ { k i } \right) } { \frac { g \_ { i } } { g \_ { k } } \frac { B \_ { i k } } { B \_ { k i } } e ^ { - \left( \varepsilon \_ { t } - \varepsilon \_ { k } \right) / k T } - 1 }
$$

高温极限下辐射强度也发散，分母为0，推出：

$$
\frac { g \_ { i } } { g \_ { k } } \frac { B \_ { i k } } { B \_ { k i } }=1
$$

$$
I \_ { \nu } = \frac { A \_ { k i } } { B \_ { k i } } \frac { 1 } { e ^ { - \left( \varepsilon \_ { i } - \varepsilon \_ { k } \right) / k T } - 1 }=\frac{ 2 h \nu ^ { 3 } / c ^ { 2 } } {e ^ { - h \nu / k T } - 1}
$$

$$
A \_ { k i } = \frac { 2 h \nu \_ { i k } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } } B \_ { k i }
$$

各系数是原子的固有的物理量，上述关系与外界物理条件无关，对非热平衡态也成立

如果外界使各能级不再简并，则该关系依然对单态适用

自发发射——零场发射，各向同性

受激发射、受激吸收——外场，各向异性——统一考虑，受激发射称为**负吸收**，跃迁数变为：

$$
n \_ { i \rightarrow k } ^ { \* } = N \_ { i } B \_ { i k } I \_ { \nu } \left( 1 - \frac { N \_ { k } } { N \_ { i } } \frac { B \_ { k i } } { B \_ { i k } } \right) \frac { \mathrm{d} \omega } { 4 \pi }
$$

局部热平衡下，利用玻尔兹曼公式和前面得到的吸收/负吸收系数的关系：

$$
\frac { n \_ { i \rightarrow k } ^ { \* } } { n \_ { i \rightarrow k } } =  1 - \frac { N \_ { k } } { N \_ { i } } \frac { B \_ { k i } } { B \_ { i k } } = 1 - e ^ { - h \nu \_ { i k } / k T }
$$

对于恒星光谱，通常，紫外区 $h\nu / kT \gg1$，可忽略负吸收，红外区或微波区 $h\nu / kT \ll 1$，负吸收非常重要

## 连续吸收的来源

### 连续吸收过程

1. 原子(包括正离子和负离子)的光致电离
2. (自由电子的)自由—自由跃迁
3. 分子的离解、电离和分子带的吸收
4. 自由电子的汤姆逊散射和氢原子的瑞利散射
5. 尘埃的吸收和散射

   **光致电离(光电吸收)**

   $r$ 次电离原子处于 $k$ 能级，可吸收任何 $\nu \geq \chi \_ { r , k } / h=\nu\_k$ 电离，产生连续吸收带，从带头频率 $\nu\_k$ 向高频、短波延伸

讨论任一频率 $\nu$ 处连续辐射的吸收时,应考虑到所有带头频率小于 $\nu$ 的吸收带作用的叠加

#### 自由-自由跃迁

从一个自由态跳到另外一个自由态，吸收或发射任何频率的光量子（半经典模型：双曲线轨道到另一条双曲线轨道）

#### 分子吸收和散射

分子吸收能量大于离解能的任何光量子后离解，多余的能量成为原子动能

#### 分子带吸收

分子内部运动自由度：电子激发、分子振动和转动

$$
E = E \_ { e } + E \_ { \nu } + E \_ { r }
$$

1. 单纯转动能级改变 $\Delta E\_r$ 很小——毫米、厘米波和远红外区域
2. 单纯振动能级变化 $\Delta E\_\nu$ 略大——近红外
3. 在ΔE中起作用最大的是电子能级跃迁 $\Delta E\_e$ ——可见光区和紫外区
4. 三项变化同时存在——产生一系列非常密集的谱线,形成一条较宽的光谱带——**振动转动谱带**

   **自由电子的汤姆逊散射和氢原子的瑞利散射**

   电子在电磁波的作用下受迫振动，因加速运动不断向各个方向发出该频率的次波——把入射辐射的一部分转移到其它方向

   **尘埃的散射和吸收**
5. 尘埃对于辐射是不透明的，也可作为次波源，对辐射的吸收由它的复折射率或介电常数确定
6. 尘埃在恒星形成区、行星形成、星际介质、分子云、晚型星的尘埃包层、类星体和活动星系核中都起到关键性(正面或负面)重要作用

#### 真吸收和散射

1. 真吸收（再辐射满足基尔霍夫定律）：把吸收的辐射能转变为**热能**以后在**其它频率**和**任意方向**上辐射出去——如光致电离、自由-自由跃迁——光子数不守恒
2. 散射（与热辐射无关）：不把辐射能变成热能，光子数守恒——自由电子的汤姆孙散射和原子的瑞利散射，入射和散射频率相同（相干散射）
3. 分子的吸收和尘埃的吸收包含了这两种过程

   **原子吸收系数（微观的吸收系数）**

   考虑原子吸收引起的辐射减弱

   $$
   \mathrm{d} I \_ { \nu } ^ { ( s ) } = - I \_ { \nu } k \_ { \nu } ^ { ( s ) } N \_ { s } \mathrm{d} h
   $$

$$
k \_ { \nu } ^ { ( s ) }= -\frac{\mathrm{d} I \_ { \nu } ^ { ( s ) }}{ \mathrm{d} h}I \_ { \nu }  N \_ { s }
$$

与散射截面同量纲

## 类氢原子的吸收系数\*

### 光致电离过程的吸收系数——在一个确定能级上

量子力学给出：

$$
\left( k \_ { \nu } ^ { \prime } \right) \_ { r , n } = \frac { 32 \pi ^ { 2 } e ^ { 6 } R \_ { \infty } Z ^ { 4 } g \_ { n } ^ { \prime } } { 3 \sqrt { 3 } h ^ { 3 } n ^ { 5 } } \nu^ { - 3 } \left( \nu> \nu \_ { n } \right)=\frac { 64 \pi ^ { 4 } Z ^ { 4 } m \_ { e } e ^ { 10 } } { 3 \sqrt { 3 } c h ^ { 6 } v ^ { 3 } } \frac { g \_ { n } ^ { \prime } } { n ^ { 5 } }
$$

利用Kramers-Lyman极限吸收截面（ $\sim10\alpha\times$几何截面，$\alpha$ 为精细结构常数）

$$
k \_ { r , 1 } = \frac { 64 } { 3 \sqrt { 3 } } \alpha \times \pi \left( \frac { a \_ { 0 } } { Z } \right) ^ { 2 }
$$

$$
\left( k \_ { \nu } ^ { \prime } \right) \_ { r , n } = k \_ { r , 1 } n \left( \frac { \nu\_ { n } } { \nu } \right) ^ { 3 } g \_ { n } ^ { \prime } = 2.815 \times 10 ^ { 29 } Z ^ { 4 } \frac { g \_ { n } ^ { \prime } } { n ^ { 5 } } \nu ^ { - 3 }
$$

可以看出带头频率处吸收系数最大，然后按 $\nu^{-3}$ 衰减；同一频率，$n$ 越大，吸收系数越小

$g\_n$ 为Gaunt因子：

$$
g \_ { n } ^ { \prime } = 1 - 0.1728 \left( \frac { v } { c R \_ { \infty } Z ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } \left( \frac { 2 c R \_ { \infty } Z ^ { 2 } } { n ^ { 2 } v } - 1 \right) \sim1
$$

### 恒星大气里类氢原子在任一频率上的光电吸收

把所有吸收带配以该吸收带对应能级上的原子数目作为权重，加权叠加

## 自由电子散射和中性原子的瑞利散射

1. 散射不具有热辐射的性质，基尔霍夫定律对它不适用
2. 也不存在负吸收

谐振电子对电磁波的散射截面：

$$
S = \frac { 8 \pi } { 3 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { m \_ { e } c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { \omega ^ { 4 } } { \left( \omega ^ { 2 } - \omega \_ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } }=\frac { 8 \pi r\_e ^ { 2 } } { 3 } \frac { \omega ^ { 4 } } { \left( \omega ^ { 2 } - \omega \_ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } }
$$

### 自由电子散射（$\omega\gg\omega\_0$）

$$
\omega\_0=0,\gamma\ll\omega
$$

$$
S \_ { e } = \frac { 8 \pi } { 3 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { m \_ { e } c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \frac { 8 } { 3 } \pi r \_ { e } ^ { 2 } = 6.65 \times 10 ^ { - 25 } \mathrm { cm } ^ { 2 } \\\Rightarrow \chi \_ { e } = S \_ { e } / m \_ { p } = 0.40\ \mathrm { cm } ^ { 2 } / \mathrm { g }
$$

散射截面与波长无关，等同地散射各个波长的辐射（在高温恒星大气中, O/B stars）

### 瑞利散射（$\omega\ll\omega\_0$）

$$
S = \frac { 8 \pi } { 3 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { m \_ { e } c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \omega } { \omega \_ { 0 } } \right) ^ { 4 }=S\_e\left( \frac { \omega } { \omega \_ { 0 } } \right) ^ { 4 }
$$

* 汤姆逊截面是瑞利散射截面的上限
* 只适用于 $\lambda\gg\lambda\_0$
* 氢原子的瑞利散射在紫外最强 
* 与波长的四次方成反比，低温的晚型星（地球）大气中（大量中性原子或分子）起作用，特别是在短波区

以上的讨论针对一个粒子而言，对于数密度为 $N\_e$ 的自由电子，辐射减弱为

$$
\mathrm{d}I\_\nu=-I\_\nu S\_eN\_e\mathrm{d}h
$$

氢原子同理

## 负氢离子、其它原子、分子和尘埃的连续吸收

### 负氢离子的连续吸收

#### 负氢离子

* 形成
  * 氢原子的电子不能完全屏蔽原子核的电场，因而其电场是极化的
  * 当另外一个电子经过原子附近时就会落到它的极化场中，使这个电子有一定机会附着在氢原子上而结合成负氢离子
* 从A0-F2型恒星开始直到光谱型更晚的恒星大气里，负氢离子的吸收都起到重要作用，表现为
  * 原本，氢巴耳末跳跃从B0型到A0型恒星增大
  * 但是受负氢离子电离（电离电势0.75eV）的影响，从A0型恒星开始，D随恒星的光谱型变晚而减小
* 存在和稳定性
  * 结构类似于中性氦
  * 束缚比氦原子松散，极易电离，温度高于8000K时几乎不存在（O型星中没有）
* 可以通过束缚-自由跃迁( $\lambda<1.65 \mu\mathrm{m}$) 和自由-自由跃迁吸收辐射能量
  * 离子吸收系数在 8500Å(红光) 处有一极大值，然后向两边减少
  * 在15000Å (1.5μ)处(近红外)，两种吸收系数相等
* 把以一个负氢离子计算的吸收系数转化为以一个中性氢原子计算的吸收系数(亦即负氢离子的吸收等效对原子吸收的贡献),我们必须求出

  $$
  \frac{N(\ce{H})}{N(\ce{H-})}p\_e=\frac{2u(\ce{H})}{{u(\ce{H-})}}\left(\frac{\sqrt{2\pi m\_ekT}}{h}\right)^3\cdot kT\cdot e^{-\chi/kT}
  $$

  * 态和 $u(\ce{H})=2, u(\ce{H-})=1$
  * （基态）类氢原子价电子自旋有两种取法，（基态）原子实价电子只有一种排列方式

### 氢的其它离子的吸收

* $\ce{H2+}$&#x20;
  * 数密度正比于 $n\_{\ce{H}}n\_p$ ——氢原子半电离时起重要作用——A型星（10000K）
  * 紫外区的重要吸收源
* $\ce{H2-}$
  * 数密度正比于 $&#x6E;*{\ce{H}}n*{\ce{H-}}$ ——只能存在于相对低的温度环境——晚型星
  * M型星中，自由—自由吸收在红外区比较重要，束缚—自由跃迁的影响可以忽略
  * 正好弥补 $\ce{H-}$ 在 1.6μm 处吸收的极小

### 氦原子的连续吸收

#### 电离氦

* 类氢离子
* O型星主要吸收源

#### 中性氦

* 多电子原子，三体问题
* B型星大气中的紫外吸收

#### 负氦离子

* 束缚-自由跃迁不重要（束缚态粒子太少）
* 自由-自由跃迁在冷星长波区域变得重要

### 其他原子的吸收

金属原子等的光致电离对紫外区辐射的吸收起着重要作用——实验测量+数值计算

### 分子的吸收

* 分子是由两个或者多个原子组成的体系。与原子的电离类似,它的离解过程,也遵从萨哈公式
* 当恒星大气的温度远低于分子的离解能时,例如在**晚型恒星**的大气里,就存在着大量的分子——对晚型星非常重要，表现在
  * 分立状态之间的跃迁，由密集的谱线组成的吸收带
  * 分子的离解和电离产生的连续吸收

### 尘埃的吸收

在晚型星大气(及地球、AGNs、星系消光),尘埃吸收很重要

* 真吸收，吸收系数 $Q\_a\sigma\_d$
* 散射，吸收系数 $Q\_s\sigma\_d$
* $Q\_a$ 和 $Q\_s$ 分别是尘埃的吸收和散射效率系数，与尘埃的化学组成有密切关系,也是频率的函数
* $\sigma\_d$ 是尘埃的几何截面，由尘埃的大小、形状决定，可能有一定的分布

$$
\mathrm{d} I \_ {\nu } = - I \_ { \nu } N \_ { d } \sigma \_ { d } \left( Q \_ { \mathrm { a } } + Q \_ { s } \right) \text{d} h
$$

可能需要对尘埃的种类、大小按分布求和

### 总吸收系数

* 在恒星大气内,对辐射的吸收往往不是由一种元素确定,而是由多种元素确定——必须把全部吸收作用相加起来

  $$
  \mathrm{d}I\_\nu=\sum\_s\mathrm{d}I\_\nu^{(s)}=-I\_\nu\mathrm{d}h\sum\_sN\_s\kappa\_\nu^{(s)}=-I\_\nu\mathrm{d}hN\_1\sum\_sa\_s\kappa\_\nu^{(s)}
  $$

  从而

  $$
  \kappa\_\nu=\sum\_sa\_s\kappa\_\nu^{(s)}
  $$

  为恒星大气内总的**原子**吸收系数
* 换算成**质量**吸收系数

  $$
  \chi \_ { \nu } = \sum \_ { s } N \_ { s } \kappa \_ { v } ^ { ( s ) } / \rho
  $$

### 总结O、B、A、F、G、K、M等光谱型恒星大气里的吸收

书P98-99


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