Chapter 2 氢原子光谱

  • 宇宙中90%的重子物质由氢元素构成，很多天体都有很强的氢的谱线

  • 原子氢是最简单的原子，是唯一可得到量子力学严格解的原子体系

  • 结论可以类比到类氢原子 $\ce{MgII,CIV,NV,OVI}$

氢原子的量子力学描述

光谱项与能级、波长、系数、频率

波长、波数和频率

  • 谱线通常以波长标记

    • 光学与紫外：$\overset\circ{\mathrm A}, \text{nm}$

    • 红外：$\mu{\text m}$

  • 波数：真空中波长的倒数 ($\mathrm{cm}^{-1}=\text { Kayer }$)

  • 在射电波段，观测波长和跃迁通常以频率 $\nu$ ($\text{Hz}$) 给出

    1 cm−1=30 GHz1\ \mathrm{cm}^{-1}=30\ \mathrm{GHz}

  • 对于高能辐射，谱线常用光子的能量以电子伏特 (eV) 标记

大气折射率、真空和大气波长

  • $2000 \overset\circ{\text{A}}$ 以上，通常采用标准条件下大气中的波长值，否则使用真空波长

    λair=λvac/n\lambda_{\text {air}}=\lambda_{\text {vac}} / n

    其中 $n$ 为折射率

Doppler 位移

  • 谱线致宽的重要机制

  • 光谱的波长坐标以相对于静止波长的形式给出

    Vr=c⋅Δλλ0V_{r}=c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}}

  • 分辨本领

    R=λΔλ{R}=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}

    对应速度分辨本领（需要结合观测目标选择）

光谱项与能级

  • 能级（束缚态）

    En=−RHhcn2E_{n}=-R_{H} \frac{h c}{n^{2}}

  • 光谱项：氢原子任一谱线的波数

    1λ=1hc(En2−En1)=RH(1n12−1n22)\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{hc}(E_{n_2}-E_{n_1})=R_H\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)

    即为光谱项序列 $T(n)=R_{\mathrm{H}} / n^{2}$ 中两项之差

    • 氢原子只有一个光谱序列

    • 复杂原子的光谱可以划分为不同的光谱序列

    • Rydberg-Ritz组合原则：在一定限制条件下（选择定则），两个不同光谱项的差对应一谱线跃迁的波数

  • 氢原子的分离谱（线谱）

    • Lyman系 (Ly) ，$n_1=1$ ，紫外

    • Balmer系 (H) ，$n_1=2$ ，光学

    • Paschen系 (P) ，$n_1=3$ ，红外

    • Brackett系 (Br) ，$n_1=4$ ，红外

    • Pfund系 (Pf) ，$n_1=5$ ，红外

  • 命名

    • $\Delta n$ 较小时（1，2，3，4，5），用 $\alpha\sim\epsilon$ 等进行命名

    • $\Delta n$ 较大时，用 $n_2$ 命名

  • 同位素位移

    • 氘的约化质量略大于氕，因而其谱线位置相对于氢原子谱线有一个 $\sim 80 \mathrm{km} / \mathrm{s}$ 的蓝移

      R∞=mee48h2ε02=109737.316 cm−1R_{\infty}=\frac{m_{\mathrm{e}} e^{4}}{8 h^{2} \varepsilon_{0}^{2}}=109737.316\ \mathrm{cm}^{-1}
      RH=μmeR∞=MHMH+meR∞=109677.581 cm−1R_{\mathrm{H}}=\frac{\mu}{m_{\mathrm{e}}} R_{\infty}=\frac{M_{\mathrm{H}}}{M_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{e}}} R_{\infty}=109677.581\ \mathrm{cm}^{-1}

    • 原则上可同时探测，但是

      • 氘的宇宙丰度很低，当氘可以被探测到时，氢线已经非常强了——饱和，不能用谱线强度之比确定氕和氘丰度之比

      • 氘的质量较大，谱线宽度较小

Balmer线系，Balmer吸收，Balmer吸收跃变

  • 最重要的氢线

  • 位于光学波段，易于观测

  • 吸收和发射都很强

恒星光谱中的氢原子谱线

  • 恒星大气中，原子能级的分布处于局部热动平衡，但气体温度岁大气层深度变化——产生吸收线谱

  • 氢原子的谱线在 A0 星达到最强——除氢线外少有其他线

    • 更晚型的恒星

      • $n=2$ 上粒子数变少

      • 非常冷的恒星中分子开始形成，不过对原子氢谱线的影响不大

    • 更早型的恒星

      • 氢开始被电离

Balmer连续谱和Balmer跃变

  • 常出现于早型恒星光谱中

  • 束缚 ($n_1=2$) - 自由跃迁，对应连续吸收——电离

  • 连续吸收过渡到线吸收——Balmer跃变

  • 经典玻尔理论

    • 电子绕核作圆周运动，角动量量子化

      mv2r=14πϵ0Ze2r2p=mvr=nℏ⇒rn=n2Za0\frac{mv^2}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r^2}\\ p=mvr=n\hbar\\ \Rightarrow r_n=\frac{n^2}{Z}a_0

      $a_0\sim0.53\overset\circ{\text{A}}$ 为玻尔半径

    • $r_n\propto n^2$ ，$n$ 不能太大，保证电子轨道包含的区域小于氢原子所占的平均体积，否则电子极易电离

    • 对于太阳表面，$N\sim10^{17}\text{ cm}^{-3}$，可以解出 $n\sim16$

  • 当大气压强升高时，氢原子所占的平均体积减小，电离的临界 $n$ 更小，波长更长，对应Balmer跃变右移

  • $\ce{H}\alpha$ 线和 $\ce{H}\beta$ 线的重要性

    • 恒星形成率

      SFR⁡(M⊙yr−1)=7.9×10−42L(Hα)(ergs⁡s−1)\operatorname{SFR}\left(M_{\odot} y r^{-1}\right)=7.9 \times 10^{-42} L(H \alpha)\left(\operatorname{ergs} \mathrm{s}^{-1}\right)

    • AGN 中心黑洞质量

      • 尘埃区绕黑洞高速旋转，满足

        MBH=fRΔV2GM_{\mathrm{BH}}=\frac{f R \Delta V^{2}}{G}

      • 为了测定 $R$

        • 反向延迟实验——尘埃区到黑洞的距离由吸积盘上连续谱的光变与宽线区中发射线的变化的时间差确定（吸积盘的连续辐射电离了尘埃区，形成发射线）——需要长时间观测，成本高

        • 反向延迟实验测出的半径与连续谱在特定波长处 (如 $\ce{H}\beta$ 线附近) 的光度有简单的线性关系

    • BPT diagram

  • Balmer跃变的重要性

    • 分析星系需要SED，实际上很难全面测量（特别是中红外、远红外）

    • 利用测光和Balmer跃变简单分析

      • 红端和蓝端分别测光

      • 红段远比蓝端亮——强烈的Balmer跃变，年老的星系

  • 电离度及光谱标记

    • 对每一种元素的每一个电离态，其谱线都在一特定温度下达到最强

    • $\ce{FeI, FeII,…}$

Lyman线系

吸收线和发射线

  • 远紫外，观测比光学波段困难得多

  • Ly$\alpha$ 是最强的吸收线/发射线 (基态和第一激发态)

  • 地冕是非常强的Lyman线发射源，严重污染了星际 Ly$\alpha$ 吸收线谱

连续谱和线系限

  • Lyman 跃变：$912\overset\circ{\text A}$

  • Lyman 连续谱——光致电离

    • 电离的几率在靠近阈值处最大，并随波长减小急剧下降

    • 光致电离过程同时也是加热过程

恒星光谱中的 Lyman 线

星系光谱中的 Lyman 线

  • 对高红移天体，Lyman 线红移至光学波段，使得它们变得非常重要

    • Ly$\alpha$ emitters (LAEs)

    • Lyman-break galaxies (LBGs)

    • AGN

    • Lyman continuum leakage

  • 高红移（$z\ge2$）类星体，Ly$\alpha$ 往往是最重要的（有时是唯一的）发射线

  • 中高红移星系很难探测到 Lyman 连续谱

红外线系

  • 氢原子的高阶线系：Paschen, Brackett, Pfund

复合与复合线

  • 复合是电离的逆过程

    • 辐射复合，自由-束缚跃迁

    • 电离氢区

    • T > 10000 K

  • 电子所带动能以辐射形式损失——冷却过程

  • 轫致辐射——电离产生的自由电子在自由离子（质子）的电场中作加速运动可发生自由-自由跃迁

    • 主要在射电区域

    • 也是冷却过程

复合线的产生

  • 质子与电子复合时，电子可被俘获到氢原子的任一束缚态，同时发射一个复合连续谱光子

  • 其间电子将发出一系列复合线光子

  • 电子向下跃迁的具体路径取决于途经各能级所允许的各种跃迁的几率

  • 连续谱+发射线

电离氢区的基本性质

  • 非常稀薄，不满足局部热动平衡，电离度不满足 Saha 方程，各能级上的原子数不满足 Boltzmann 分布，主要由辐射过程决定

  • 激发态向基态跃迁速率远大于氢原子被紫外光子电离的速率，故只需考虑从基态的电离

  • 电离电子携带的动能由于离子间频繁的弹性碰撞很快在粒子间均分——存在一个可定义的电子温度 $T_e$——气体中离子的运动遵循 Maxwell 速度分布

  • 冷却过程包括

    • 复合辐射（复合线和连续谱辐射，轫致辐射）

    • 电子与气体中含量远低于氢的重元素离子非弹性碰撞产生的——禁戒跃迁线辐射

      • 电子温度低 (5000 ～ 20000 K 之间，典型动能 ～ 1eV)，无法大量激发氢原子，更容易激发重原子

电离氢区的辐射

  • 多由复合线产生，有大量高阶 Balmer 线 (稀薄)——射电复合线

    • n+1 -> n 的跃迁称为 n$\alpha$ (最强)，n+2 -> n 的跃迁称为 n$\beta$，以此类推

    • 多为观测一些非常有用的波段 (比如氢的 21 cm 线时) 顺便观测

  • 几乎所有来自重元素离子的强线都是禁戒跃迁

其他原子的射电复合线

  • 一个激发电子处于很高 n 值的多电子原子体系结构上类似于单电子氢原子 (不一定是类氢原子) ，对激发电子而言原子核和内壳层电子可认为处于同一距离

  • 可用氢原子能级公式来计算这些体系的能级

角动量与精细结构

角动量

  • 电子轨道角动量：$l$

  • 电子自旋角动量：$s$

  • 原子核自旋角动量：$i$

  • 对多电子原子体系，需要考虑每一个电子的轨道和自旋角动量

  • 只有总角动量守恒，来自各分量的矢量相加

精细结构

  • 相对论效应导致电子轨道角动量和自旋角动量耦合，产生精细结构分裂

  • 例如中性氢 n = 2 的精细结构能级有 $^{2} \mathrm S{1 / 2}, ^2 \mathrm{P}{1 / 2}, ^2 \mathrm{P}_{3 / 2}$

    光谱能级的分光记号为 $^{(2 s+1)} \mathrm{L}_{J}$

  • 分裂很小，在天文应用中可忽略

  • 复杂原子的精细结构分裂增大，重要得多

超精细结构

  • 磁效应导致电子的总角动量和原子核自旋角动量耦合

  • 对于氢原子基态 $^{2} \mathrm{S}_{1 / 2}$ ，总角动量 $f=j+i=j \pm 1 / 2$ 取 0 或 1

  • 由于磁效应，两能级之间有一个很小的分裂，产生 21cm 的跃迁

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