Chapter 4 吸收线内的辐射转移

引言

• 建立研究吸收线的辐射转移方程

• 介绍几种常用的解吸收线内转移方程的方法

• 导出谱线轮廓和深度的理论公式

描述吸收线的物理量

剩余强度

• 剩余的辐射与连续谱的比值

  $$r _ { \nu } = \frac { I _ { \nu } ( \theta ) } { I _ { \nu } ^ { 0 } ( \theta ) }=\frac { F _ {\nu} } { F _ { \nu } ^ { 0 } }$$

  辐射强度的比对应于圆面上一点的辐射，辐射流的比对应于整个圆面的辐射

• 吸收线内 $r\nu<1$ ，吸收线外 $r\nu=1$

• 线心频率 $\nu_0$ 处剩余强度最小——中心剩余强度

谱线轮廓

• 以 $\nu$ 为横坐标，$r_\nu$ 为纵坐标得到的曲线

• 谱线的中心部分称为线心，由中心向外延伸的最外面部分叫线翼

线深度

• $R\nu=1-r\nu$

• 谱线轮廓图中,由连续背景到剩余相对强度的深度

谱线总吸收

• 吸收线轮廓与连续背景所包围的面积

  $$W_\nu=\int R_\nu\mathrm{d}\nu,\text{ or }W_\nu=\int R_\lambda\mathrm{d}\lambda$$

  积分沿整条谱线进行

• 总吸收越大，谱线越强

等值宽度

• 谱线总吸收强度(面积)用一个面积相等、高度为一个单位的矩形面积来代替时，矩形的宽度

• 数值上等于谱线总吸收

• 单位常为埃

吸收线的产生机制

选择吸收 (线吸收)

• 在恒星大气的辐射转移中，吸收线所在频率范围内的辐射比其附近的连续光谱遭到更多的减弱，形成了吸收线

• 基本物理过程：原子在两个分立能级之间的跃迁

• 选择真吸收：再发射过程具有热辐射性质，在局部热动平衡假设下满足基尔霍夫定律

  • 吸收光量子跃迁到高能级之后，碰撞退激发

  • 吸收光量子跃迁到高能级之后，再吸收光量子电离

• 选择散射：与热辐射无关

  • 吸收光量子跃迁到高能级之后，跳回原能级，辐射光子 (自发辐射各向同性)

如果吸收光量子跃迁到高能级之后，跳回另一个能级——不是真吸收也不同于前面的散射

• 联锁效应：把在某条谱线里吸收的能量转移到其它谱线，引起同一种原子不同谱线之间的能量交换

  • 多种多样，极其复杂

  • 基尔霍夫定律不适用，必须根据散射过程的定义来导出再发射系数和散射系数之间的关系

散射辐射系数

• $\sigma\nu$： 单位质量的散射系数，因为散射是各向同性的，$\sigma\nu$ 与角度无关

• 单位质量物质在单位时间、单位频率间隔内由于散射过程引起的辐射能量减弱为

  $$\sigma_\nu\int_{4\pi}I_\nu(\theta)\text{d}\omega$$

  这个能量就是被散射到各个方向的能量

• 假设散射是相干的，即再辐射出去的光量子频率准确地和原来入射的频率相同 (事实上能级有一定的宽度，这是由不确定性关系 $\Delta E\Delta t\ge\hbar/2$ 决定的，入射频率和散射频率并不一定一样，这个不同是本质上的) ，只是方向发生了变化，则单位质量的散射辐射系数为：

  $$j _ { \nu } = \frac { 1 } { 4 \pi } \sigma _ { \nu } \int _ { 4 \pi } I _ { \nu } ( \theta ) \text{d} \omega = \sigma _ { \nu } J _ { \nu }$$

吸收线的辐射转移方程

在吸收线所在频率处及辐射向外转移的过程中，一般来说不仅仅遭受到连续真吸收和连续散射，还受到选择真吸收和选择散射——建立吸收线内辐射转移方程

• 根据能量守恒

  $$\begin{align*} &\cos \theta \frac { \text{d} I _ { \nu } ( \theta , h ) } { \text{d} h }\\ =& (体元吸收的能量) - (体元辐射的能量)\\ =&+(连续真吸收的能量) + (连续散射的能量) \\ &+ (选择真吸收的能量) + (选择散射的能量)\\ &-(连续热辐射的能量) - (连续散射辐射的能量) \\ &- (选择热辐射的能量) - (选择散射辐射的能量) \end{align*}$$

  右端的所有能量都在单位时间、单位体积、单位立体角和单位频率间隔内

• 对恒星大气中任意一条确认的谱线，吸收线占据的波长范围很窄 ( $T=5800$ K 时，谱线半高全宽 $3$ km/s )

  半高全宽 (FWHM)

  波峰一半处对应的展宽为 $\Delta \lambda$ ，类比多普勒效应：

  $$\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{v}{c}$$

  则我们可以用 $v$ 表示谱线的展宽

• 连续吸收系数随频率或波长的变化一般来说相当缓慢——一条吸收线范围内，近似为常数

• 选择吸收系数变化剧烈——必须加下标 $\nu$

• 对所讨论的谱线

  • 连续真吸收系数 $\chi$

  • 连续散射系数 $\sigma$

  • 选择真吸收系数 $\chi\nu=\epsilon\nu l\nu$ ，$l\nu$ 是总选择吸收系数，$\epsilon_\nu$ 是真吸收在其中的比例

  • 选择散射系数 $\sigma\nu=l\nu-\chi\nu=(1-\epsilon\nu)\chi_\nu$

  从而得到各种能量：

  • 连续真吸收能量 $I _ { \nu } \chi \rho$

  • 连续热辐射能量 $\left( \rho j { \nu } = \rho \chi j { \nu } / \chi = \rho \chi S { \nu} = \right) \chi \rho B { \nu} ( T )$

  • 连续散射的能量 $I _ { \nu } \sigma $

  • 连续散射辐射的能量 $\sigma \rho J _ { \nu } ( h )$

  • 选择真吸收的能量 $I { \nu } \chi { \nu } \rho = I { \nu} \varepsilon { \nu} l _ { \nu} \rho$

  • 选择热辐射的能量 $\left[ \rho j { \nu } = \rho \chi { \nu} \left( j { \nu} / \chi { \nu } \right) = \right] \chi { \nu } \rho B { \nu } ( T ) = \epsilon { v } l { \nu } \rho B _ { \nu } ( T )$

  • 选择散射的能量 $I { \nu } \sigma { \nu } \rho = I { \nu } \left( 1 - \varepsilon { \nu } \right) l _ { \nu } \rho$

  • 选择散射辐射的能量 $\sigma { \nu } \rho J { \nu } ( h ) = \left( 1 - \epsilon { \nu } \right) l { \nu } \rho J _ { \nu} ( h )$

• 代入化简即得吸收线内辐射转移方程

  $$\begin{align*} \cos \theta \frac { \text{d} I _ { \nu } ( \theta , h ) } { \rho \text{d} h } &= \left( \chi + \sigma + \chi _ { \nu } + \sigma _ { \nu } \right) I _ { \nu } ( \theta , h ) - \left( \sigma + \sigma _ { \nu } \right) J _ { \nu } ( h ) - \left( \chi + \chi _ { \nu } \right) B _ { \nu } ( T ) \\ &= \left( \chi + \sigma + l _ { \nu } \right) I _ { \nu } ( \theta , h ) - \sigma J _ { \nu } ( h ) - \left( 1 - \epsilon _ { \nu } \right) l _ { \nu } J _ { \nu } ( h ) - \chi B _ { \nu } ( T ) - \epsilon _ { \nu } l _ { \nu } B _ { \nu } ( T ) \end{align*}$$

  对于非O、B型星，则连续散射 (主要是电子散射) 的作用可忽略不计，取连续散射系数 $\sigma=0$ ：

  $$\begin{align*} \cos \theta \frac { \text{d} I _ { \nu } ( \theta , h ) } { \rho \text{d} h } &=\left( \chi + \chi _ { \nu } + \sigma _ { \nu } \right) I _ { \nu } ( \theta , h )- \sigma _ { \nu } J _ { \nu } ( h ) - \left( \chi + \chi _ { \nu } \right) B _ { \nu } ( T )\\ &= \left( \chi + l _ { \nu } \right) I _ { \nu } ( \theta , h ) - \left( 1 - \epsilon _ { \nu } \right) l _ { \nu } J _ { \nu } ( h ) - \chi B _ { \nu } ( T ) - \epsilon _ { \nu } l _ { \nu } B _ { \nu } ( T ) \end{align*}$$
• 两个隐含假设：

  • 散射是相干的，散射光量子频率不变——实际上往往非相干

  • 没有考虑联锁效应

    • 吸收的能量和再辐射能量之间没有很直接的联系，类似于真吸收

反变层模型(S-S模型)下辐射转移方程的解

反变层模型

• 恒星的连续光谱是由恒星光球发出,而吸收线则是在一个比较冷的、位于光球之上的大气层产生,这个大气层就称为反变层

恒星表面连续谱辐射强度与角度的关系

• 相当于考虑临边昏暗

  $$\frac { I _ { \nu } ^ { 0 } ( \theta ) } { I _ { \nu } ^ { 0 } ( 0 ) } = \frac { \left( 1 + \beta _ { 0 } \cos \theta \right) } { \left( 1 + \beta _ { 0 } \right) }$$
• 这里的 $\beta0$ 对应将 $B\nu(T)$ 在 $\tau$ 处展开时得到的线性项

  $$B_\nu(T)=B _ { \nu } \left( T _ { 0 } \right) \left( 1 + \beta _ { 0 } \tau \right)$$

求解辐射转移方程

• 吸收线产生时没有连续谱产生，连续谱散射为 $0$

• 只讨论纯散射过程，真吸收为 $0$

  $$\chi=0,\ \sigma=0,\ \chi_\nu=0$$
• 辐射转移方程

  $$\cos \theta \frac { \mathrm{d} I _ { \nu } ( \theta , h ) } { \rho \mathrm{d} h } = \sigma _ { \nu } I _ { \nu } ( \theta , h ) - \sigma _ { \nu } J _ { \nu } ( h )$$

  对立体角积分，左边为单色辐射流对光深的导数，右边为 $0$ ，从而单色辐射流和光深无关

剩余强度

• 辐射强度平均法（爱丁顿近似）：$I\nu$ 和 $I\nu'$ 分别代表向外和向内的平均辐射强度

  $$\frac{2}{3}\frac { \mathrm{d} \left( I _ { v } + I _ { v } ^ { \prime } \right) } { \mathrm{d}\tau _ { v } } = \left( I _ { v } - I _ { v } ^ { \prime } \right)=4H_\nu$$
• 利用 $H\nu=F\nu/4$ 和 $F_\nu$ 为常数

  $$I _ { \nu } + I _ { \nu } ^ { \prime } = 6 H _ { \nu } \tau _ { \nu } + 4H _ { \nu }$$
• 引入反变层在 $\nu$ 处因选择散射引起的光深 $\tau^\sigma\nu$ ，反变层底部由光球发出，进入反变层的平均辐射强度 $( I ) { \tau ^ { \sigma }_\nu }$

  $$H _ { \nu } = \frac{\left( I _ { \nu } \right) _ { \tau _ { \nu } ^ { \sigma } } } {\left[ 4 \left( 1 + \frac { 3 } { 4 } \tau _ { \nu } ^ { \sigma } \right) \right]}$$

  在表面上 $H\nu=(I\nu){\tau\nu^\sigma}/4$

• 累积辐射剩余强度

  $$r _ { \nu } = \frac { F _ { \nu } } { F _ { \nu } ^ { 0 } } = \frac { H _ { \nu } } { H _ { \nu } ^ { 0 } } = \left( 1 + \frac { 3 } { 4 } \tau _ { \nu } ^ { \sigma } \right) ^ { - 1 }$$
• 精确解

  $$r_\nu=\left[ 1 + \tau _ { \nu } ^ { \sigma } \varphi \left( \tau _ { \nu } ^ { \sigma } \right) \right] ^ { - 1 }$$
• 光深很小时 $\varphi\to1$ ，光深很大时 $\varphi\to 3/4$

星面上某点的辐射强度剩余强度

相当复杂

缺点

• 认为吸收线和连续光谱分别产生于截然分开的大气层

  • 作为近似：谱线处吸收系数比连续谱吸收系数大，对应光深小，形成吸收线大气更浅

  • 若线吸收系数比连续谱吸收系数大得多，近似较好

M-E模型*