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# 线性微分方程组

$$
\frac{\text dy\_i}{\text dt}=\sum\_{j=1}^na\_{ij}(t)y\_j+f\_i(t),\quad 1\le i\le n
$$

一般假设 $a\_ij(t)$ 和 $f\_i(t)$ 都是 $(a,b)$ 上的连续函数

若 $f\_i(t)\equiv0$，则成为齐次方程组

若令

$$
y(t)=\left(
\begin{array}{c}
y\_1(t)\\
\cdots\\
y\_n(t)
\end{array}
\right)
$$

是 $(a,b)$ 到 $R^n$ 上的映射，$A(t)=(a*{ij}(t))*{n\times n}$

$$
f(t)=\left(
\begin{array}{c}
f\_1(t)\\
\cdots\\
f\_n(t)
\end{array}
\right)
$$

则方程组可以重写为

$$
\frac{\text dy}{\text dt}=A(t)y+f(t)=F(t,y)
$$

在 $t\in(a,b), y\in R$ 上，$F$ 连续，关于 $y$ 局部李氏连续，且

$$
|F(t,y)|\le A(t)|y|+B(t)
$$

**定理** (解的存在唯一性)：此类微分方程对初值问题的解存在唯一，且解可以延拓到 $(a,b)$ 上

## 齐次线性方程组

**定理**

如果 $y\_1,y\_2$ 是齐次线性方程组的解，则对任何常数 $C\_1,C\_2$，$C\_1y\_1+C\_2y\_2$ 也是解

**证明**

直接验证

$$
\frac{\text d}{\text dt}(C\_1y\_1+C\_2y\_2)=A(t)(C\_1y\_1+C\_2y\_2)
$$

**推论**

齐次方程组全体解构成一个线性空间，称为**解空间**

**定义**

向量函数 $\phi\_i(x): (a,b)\to R^n, 1\le i\le m$ 称为线性相关的，如果存在不全为零的常数 $C\_1,C\_2,\cdots,C\_m$ 满足

$$
\sum\_{i=1}^mC\_i\phi\_i(x)\equiv0,\quad \forall x\in(a,b)
$$

**命题**

假设齐次方程组有 $m$ 个解 $y\_i(x)$，则 $y\_i(x)$ 线性相关的充要条件是，存在 $x\_0\in(a,b)$，$y\_i(x\_0)$ 线性相关

必要性显然，充分性：由线性相关性，存在不全为零的常数 $C\_1,\cdots,C\_m$，满足

$$
\sum\_{i=1}^mC\_iy\_i(x\_0)=0
$$

令

$$
y(x)=\sum\_{i=1}^mC\_iy\_i(x)
$$

则 $y(x)$ 是齐次方程组的解，$y(x\_0)=0$，由解的唯一性，$y(x)\equiv0$，也就是 $y\_i(x)$ 线性相关

**定理**

齐次方程组的解空间是 $n$ 维线性空间：存在 $n$ 个线性无关的解 $y\_i(x)$，使得

$$
y(x)=\sum\_{i=1}^mC\_iy\_i(x),\quad C\_i\in R
$$

构成全体解

**证明**

设

$$
\epsilon\_i=\left(
\begin{array}{c}
0\\
\cdots\\
1\\
\cdots\\
0
\end{array}
\right)
$$

是 $n$ 个标准基，$y\_i(x)$ 是满足

$$
y'=A(x)y,\quad y(x\_0)=\epsilon\_i
$$

的解，则 $y\_i(x\_0)$ 线性无关，必有 $n$ 个 $y\_i(x)$ 线性无关

设 $y(x)$ 是方程的任意一个解，设

$$
y(x\_0)=\left(
\begin{array}{c}
C\_1\\
\cdots\\
C\_n
\end{array}
\right)
$$

考虑解

$$
\tilde y(x)=\sum\_{i=1}^mC\_iy\_i(x)
$$

则有 $\tilde y(x\_0)=y(x\_0)$，由解的唯一性，$\tilde y(x)\equiv y(x), \forall x\in(a,b)$

设

$$
y\_i(x)=\left(
\begin{array}{c}
y\_{1i}(x)\\
\cdots\\
y\_{ni}(x)
\end{array}
\right)
$$

$$
Y(x)=(y\_1(x)\ \cdots\ y\_n(x))=(y\_{ij}(x))\_{n\times n}
$$

则

$$
\frac{\text dY}{\text dx}=A(x)Y(x)
$$

**命题**

$Y(x)$ 是**解矩阵**等价于 $Y(x)$ 的每一列都是齐次方程组的解

若 $\det Y(x)\neq0$，则 $Y(x)$ 称为**基本解矩阵**

**命题**

$Y(x)$ 是解矩阵，则对于任意向量

$$
C=\left(
\begin{array}{c}
C\_1\\
\cdots\\
C\_n
\end{array}
\right)\in R^n
$$

有 $Y(x)C$ 一定是解

**命题**

$Y(x)$ 是解矩阵，$B$ 是一个 $n\times n$ 的常数矩阵，则 $Y(x)B$ 仍是解矩阵，特别地，如果 $Y(x)$ 为基本解矩阵，$B$ 是可逆矩阵，则 $Y(x)B$ 仍是基本解矩阵，同时所有的基本解矩阵可以在 $B$ 取遍所有的可逆矩阵时给出

**证明**

取定 $x\_0\in(a,b)$，设 $X(x)$ 为任意一个基本解矩阵，$B=Y(x\_0)^{-1}X(x\_0)$，并设

$$
\tilde X(x)=Y(x)B
$$

则 $\tilde X(x)$ 是基本解矩阵且 $\tilde X(x\_0)=X(x\_0)$，由唯一性

$$
X(x)\equiv\tilde X(x)=Y(x)B
$$

**命题**

设 $Y(x)$ 是一个基本解矩阵，则 $Y(x)C, C\in R^n$ 是方程的通解

**证明**

取定 $x\_0\in(a,b)$，设 $y(x)$ 是任意一个解，取 $C=Y(x\_0)^{-1}y(x\_0)$，则解 $\tilde y(x)=Y(x)C$ 满足 $\tilde y(x\_0)=y(x\_0)$，由唯一性 $\tilde y(x)=y(x)$，从而 $y(x)=Y(x)C$

**定理** (刘维尔公式)：

设 $Y(x)$ 是一个解矩阵，$W(x)=\det Y(x)$，则

$$
W(x)=W(x\_0)\exp{\int\_{x\_0}^x}\text{tr} A(s)\text ds
$$

$$
\text{tr} A(s)=\sum\_{i=1}^na\_{ii}(s)
$$

**证明**

$$
W(x)=\left|\begin{array}{cccc}y\_{11}(x) & y\_{12}(x) & \cdots & y\_{1 n}(x) \ y\_{21}(x) & y\_{22}(x) & \cdots & y\_{2 n}(x) \ \vdots & \vdots & & \vdots \ y\_{n 1}(x) & y\_{n 2}(x) & \cdots & y\_{n n}(x)\end{array}\right|
$$

$$
\begin{align\*}
W'&=\sum\_{i=1}^{n}\left|\begin{array}{cccc}y\_{11} & y\_{12} & \cdots & y\_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ \frac{d y\_{i 1}}{d x} & \frac{d y\_{i 2}}{d x} & \cdots & \frac{d y\_{n n}}{d x} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ y\_{n 1} & y\_{n 2} & \cdots & y\_{n n}\end{array}\right|\\
&=\sum\_{i=1}^{n}\left|\begin{array}{cccc}y\_{11} & y\_{12} & \cdots & y\_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ \sum\_{j=1}^{n} a\_{i j} y\_{j 1} & \sum\_{j=1}^{n} a\_{i j} y\_{j 2} & \cdots & \sum\_{j=1}^{n} a\_{i j} y\_{j n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ y\_{n 1} & y\_{n 2} & \cdots & y\_{n n}\end{array}\right|\\
&=\sum\_{i=1}^na\_{ii}W=\text{tr} A(x)W
\end{align\*}
$$

即证

## 非齐次方程组

$$
y'=A(x)y+f(x)
$$

**命题**

设 $\Phi(x)$ 是对应齐次方程组的基本解矩阵，$y\_\*(x)$ 是原方程的一个解，则

$$
y(x)=\Phi(x)C+y\_\*(x),\quad C\in R^n
$$

**证明**

显然 $y-y*\*$ 是齐次方程组的解，因此存在 $C\in R^n$，使得 $y-y*\*=\Phi C$

**寻找特解**

设原方程有一个解有形式

$$
y(x)=\Phi(x)C(x)
$$

那么

$$
y'(x)=A(x)\Phi(x)C(x)+f(x)=\Phi'(x)C(x)+\Phi(x)C'(x)
$$

$$
\Rightarrow C'(x)=\Phi'(x)^{-1}f(x)
$$

得到原方程一个解

$$
y\_\*(x)=\Phi(x)\int\_{x\_0}^x\Phi(s)^{-1}f(s)\text ds
$$

**求通解**

$$
y\_\*(x)=\Phi(x)\left(C+\int\_{x\_0}^x\Phi(s)^{-1}f(s)\text ds\right)
$$

### 常系数微分方程组

$$
\frac{\text dy}{\text dx}=Ay+f(x)
$$

其中 $A$ 是 $n\times n$ 的常系数矩阵

其对应的齐次方程组为

$$
\frac{\text dy}{\text dx}=Ay
$$

$y=e^{Ax}$ 是一个解，因为

$$
\frac{\text d e^{Ax}}{\text dx}=\sum\_{i=0}^\infty A^{i+1}\frac{x^i}{i!}=A\sum\_{i=0}^\infty A^{i}\frac{x^i}{i!}=Ae^{Ax}
$$

这里已经定义了

$$
e^{Ax}=I\_n+\frac{Ax}{1!}+\frac{A^2x^2}{2!}+\cdots
$$

这个级数逐项收敛，且逐项求导之后依然一致收敛，因此对级数求导的结果相当于逐项求导后的级数

$e^{Ax}$ 当然是一个解矩阵，同时 $x=0$ 时，$e^{Ax}=I\_n$，因此 $e^{Ax}$ 是一个基本解矩阵

**定义** (矩阵的模)

$M\_n$ 是一切 $n$ 阶实矩阵的集合，实际上构成了一个 $n^2$ 维的完备的线性空间，定义

$$
||A||=\sum\_{i,j}|a\_{ij}|,\quad A\in M\_n
$$

从而

$$
e^{Ax}=I\_n+\frac{Ax}{1!}+\frac{A^2x^2}{2!}+\cdots
$$

在 $x$ 的任意有界区间上是绝对一致收敛的，任意阶逐项求导之后也是绝对一致收敛的，因此它是一个 $C^\infty$ 的矩阵函数，可逐项求导任意多次

**矩阵函数的性质**

* $A,B\in M\_n$ 且 $AB=BA$，则 $e^{A+B}=e^Ae^B=e^Be^A$

  $$
  e^Ae^B=\sum\_{i=0}^\infty\frac{A^i}{i!}\sum\_{j=0}^\infty\frac{B^j}{j!}
  $$

  由级数的绝对收敛性，可以合并两个级数，且任意交换求和次序

  $$
  e^Ae^B=\sum\_{k=0}^\infty\sum\_{i+j=k}\frac{A^iB^j}{i!j!}=\sum\_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\sum\_{i=0}^kC\_k^iA^iB^{k-i}=\sum\_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(A+B)^k=e^{A+B}
  $$

  **推论**：对任意 $A\in M\_n$，$(e^A)^{-1}=e^{-A}$
* $P\in M\_n$ 是可逆的，则

  $$
  e^{PAP^{-1}}=Pe^AP^{-1}
  $$

  $$
  LHS=\sum\_{i=0}^\infty\frac{\left(PAP^{-1}\right)^i}{i!}=\sum\_{i=0}^\infty\frac{PA^iP^{-1}}{i!}=Pe^AP^{-1}=RHS
  $$

**命题**

$$
\frac{\text dy}{\text dx}=Ay
$$

满足 $\Phi(0)=E\_n$ 的基本解矩阵为 $\Phi(x)=e^{Ax}$

**推论**

$$
\frac{\text dy}{\text dx}=Ay+f(x)
$$

的通解为

$$
y=e^{Ax}C+\int\_{x\_0}^xe^{A(x-s)}f(s)\text ds
$$

$C\in R^n$ 为任意列向量，而满足 $y(x\_0)=y\_0$ 的初值问题的解为

$$
y=e^{A(x-x\_0)}y\_0+\int\_{x\_0}^xe^{A(x-s)}f(s)\text ds
$$

**如何求出 $e^{Ax}$**

**例**

$A=\text{diag}(a\_1,a\_2,\cdots,a\_n)$，则 $A^k=\text{diag}(a\_1^k,a\_2^k,\cdots,a\_n^k)$，从而

$$
e^{Ax}=\text{diag}(a\_1^k,a\_2^k,\cdots,a\_n^k)\sum\_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\text{diag}(e^{a\_1x},e^{a\_2x},\cdots,e^{a\_nx})
$$

**例**

$$
A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}
\right)=E\_3+Z\_3
$$

其中

$$
Z\_3=\left(
\begin{array}{ccc}
0&1&1\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}
\right)
$$

显然有 $E\_3Z\_3=Z\_3E\_3$，且

$$
Z\_3^2=\left(
\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}
\right),\quad Z\_3^3=0
$$

因此

$$
\begin{align\*}
e^{Ax}&=e^{E\_3x+Z\_3x}=e^{E\_3x}e^{Z\_3x}=e^{x}e^{Z\_3x}\\
&=e^{x}\left(E\_3+Z\_3x+\frac{Z\_3^2x^2}{2}\right)\\
&=e^x
\left(
\begin{array}{ccc}
1\&x\&x+\frac{1}{2}x^2\\
0&1\&x\\
0&0&1
\end{array}
\right)\\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
e^x\&xe^x&\left(x+\frac{1}{2}x^2\right)e^x\\
0\&e^x\&xe^x\\
0&0\&e^x
\end{array}
\right)
\end{align\*}
$$

**利用 Jordan 标准型**

对于每一个 $n$ 阶矩阵 $A$，存在 $n$ 阶非奇异矩阵 $P$，使得

$$
A=PJP^{-1}
$$

其中

$$
J=\text{diag}(J\_1,J\_2,\cdots,J\_m)
$$

被称为 Jordan 标准型，由 Jordan 块

$$
{J}*{i}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda*{i} & 1 & & \ & \lambda\_{i} & \ddots & \ & & \ddots & 1 \ & & & \lambda\_{i}\end{array}\right)=\lambda\_iE\_{n\_i}+Z\_{n\_i}
$$

构成，因此

$$
\begin{align\*}
e^{J\_ix}&=e^{\lambda\_iE\_{n\_i}x}e^{Z\_{n\_i}x}=e^{\lambda\_ix}e^{Z\_{n\_i}x}=e^{x J\_{i}}\\
&=e^{\lambda\_{i} x}\left(\begin{array}{cccccc}1 & x & \frac{x^{2}}{2 !} & \cdots & \cdots & \frac{x^{n\_{i}-1}}{\left(n\_{i}-1\right) !} \ & 1 & x & \cdots & \cdots & \frac{x^{n\_{i}-2}}{\left(n\_{i}-2\right) !} \ & & \ddots & \ddots & & \vdots \ & && \ddots & \ddots & \vdots \ & & && \ddots & x \ & & & && 1\end{array}\right)
\end{align\*}
$$

从而

$$
e^{x J}=\text{diag}(e^{xJ\_1},e^{xJ\_2},\cdots,e^{xJ\_m})
$$

$$
e^{Ax}=Pe^{Jx}P^{-1}
$$

事实上由 $P$ 的可逆性， $e^{Ax}P=Pe^{Jx}$ 也是方程的一个基本解矩阵

但是一般来说，求 Jordan 标准型和过渡矩阵 $P$ 的计算量非常大，需要寻找替代方法

**待定指数函数法**

矩阵 $A$ 的 Jordan 标准型依赖于它特征根的重数

* 如果 $A$ 只有实的单特征根 $\lambda\_1,\cdots,\lambda\_n$，则 $A$ 的 Jordan 标准型就是一个对角矩阵

  $$
  \Phi(x)=e^{Ax}P=Pe^{Jx}=P\cdot\text{diag}(e^{\lambda\_1x}, e^{\lambda\_2x},\cdots,e^{\lambda\_nx})
  $$

  且 $\Phi(0)=P$，有 $e^{Ax}=\Phi(x)\Phi^{-1}(0)$

  令 $r\_i$ 表示 $P$ 的第 $i$ 列的向量，则基本解矩阵 $\Phi(x)$

  $$
  \Phi(x)=\left(e^{\lambda\_1x}r\_1,e^{\lambda\_nx}r\_n,\cdots,e^{\lambda\_nx}r\_n\right)
  $$

  可是要怎么求 $r\_i$ 呢

  **引理**

  微分方程组有非零解 $y=e^{\lambda x} r$，当且仅当 $\lambda$ 是 $A$ 的特征根，而 $r$ 是与 $\lambda$ 相应的特征向量

  **证明**

  $$
  \frac{\text dy}{\text dx}=\lambda e^{\lambda x}r=e^{\lambda x}Ar
  $$

  $$
  \Leftrightarrow (A-\lambda E\_n)r=0
  $$

  $r$ 的非零解就是 $A$ 的特征根相应的特征向量

  从而有

  **定理**

  设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征根 $\lambda\_i$，则矩阵函数

  $$
  \Phi(x)=\left(e^{\lambda\_1x}r\_1,e^{\lambda\_nx}r\_n,\cdots,e^{\lambda\_nx}r\_n\right)
  $$

  是一个基本解矩阵，其中 $r\_i$ 是与 $\lambda\_i$ 相应的特征向量

  **证明**

  由上面的引理，$\Phi(x)$ 当然是一个解矩阵，又由 $r\_i$ 之间是线性无关的，即 $\Phi(0)$ 是满秩的，$\Phi(x)$ 也是一个基本解矩阵

  实际上证明过程并没有用到 $\lambda\_i$ 互不相同，只要求 $r\_i$ 之间线性无关，因此定理的结果可以加强 (但是不一定好用，因为不好判断相同的特征根下的特征向量是否线性无关)
* $A$ 只有单特征根，但是包括复值根，从而 $\Phi(x)$ 可能是复的，虽然最终的 $e^{Ax}$ 一定是实的，但是计算 $\Phi^{-1}(0)$ 的过程计算量较大

  事实上如果微分方程组有一个复值解，则由于方程的系数是实数，对方程两边取共轭之后易知该复值解的共轭也是方程的解；由于复值解的实部和虚部都可以用它与其共轭的线性表出，实部和虚部一定同时为方程的解，可以将两个复值解替换掉
* $A$ 有重特征根

  设 $A$ 互不相同的特征根为 $\lambda\_1,\lambda\_2,\cdots,\lambda\_s$，相应的重数分别为 $n\_1,n\_2,\cdots,n\_s$

  在 $A$ 的 Jordan 标准型中，与 $\lambda\_i$ 相对应的 Jordan 块可能不止一个，但这些 Jordan 块的阶数之和为 $n\_i$

  在基本解矩阵 $e^{Ax}P$ 的所有列向量中，与 $\lambda\_i$ 相关的 $n\_i$ 列都具有下列形式

  $$
  y=e^{\lambda\_{i} x}\left(r\_{0}+\frac{x}{1 !} r\_{1}+\frac{x^{2}}{2 !} r\_{2}+\cdots+\frac{x^{n\_{i}-1}}{\left(n\_{i}-1\right) !} r\_{n\_{i}-1}\right)
  $$

  级数截断在 $n\_i-1$

  **引理**

  方程有如上的非零解的充要条件是，$r\_0$ 是齐次线性方程组

  $$
  (A-\lambda\_i E)^{n\_i}r=0
  $$

  的一个非零解，而 $r\_k$ 是递推定义的

  $$
  r\_{k}=(A-\lambda\_iE)r\_{k-1},\quad 1\le k\le n\_i-1
  $$

  **证明**

  将上述形式代入

  $$
  \frac{\text dy}{\text dx}=\lambda\_iy+e^{\lambda\_ix}\left(r\_1+\frac{x}{1 !} r\_{2}+\frac{x^{2}}{2 !} r\_{3}+\cdots+\frac{x^{n\_{i}-2}}{\left(n\_{i}-2\right) !}r\_{n\_{i}-1}\right)=Ay
  $$

  $$
  \Rightarrow (A-\lambda\_i E\_n)\left(r\_{0}+\frac{x}{1 !} r\_{1}+\frac{x^{2}}{2 !} r\_{2}+\cdots+\frac{x^{n\_{i}-1}}{\left(n\_{i}-1\right) !} r\_{n\_{i}-1}\right)=r\_1+\frac{x}{1 !} r\_{2}+\frac{x^{2}}{2 !} r\_{3}+\cdots+\frac{x^{n\_{i}-2}}{\left(n\_{i}-2\right) !}r\_{n\_{i}-1}
  $$

  逐项比较系数即有上述定义

  **命题**

  设矩阵 $A$ 的互不相同的特征根为 $\lambda\_1,\lambda\_2,\cdots,\lambda\_s$，相应的重数分别为 $n\_1,n\_2,\cdots,n\_s$，记 $n$ 维常数列向量组成的线性空间为 $\mathbb{V}$，则

  * $\mathbb V\_i=\left{r\in \mathbb V\left|(A-\lambda\_i)^{n\_i}r=0\right.\right}$ 是矩阵 $A$ 的 $n\_i$ 维不变子空间
  * $\mathbb V$ 有直和分解

    $$
    \mathbb{V}=\mathbb{V}*{1} \oplus \mathbb{V}*{2} \oplus \cdots \oplus \mathbb{V}\_{s}
    $$

  **定理**

  在有重根的情形下，基本解矩阵 $\Phi(x)$ 为

  $$
  \left(e^{\lambda\_{1} x} P\_{1}^{(1)}(x), \cdots, e^{\lambda\_{1} x} P\_{n\_{1}}^{(1)}(x) ; \cdots ; e^{\lambda\_{s} x} P\_{1}^{(s)}(x), \cdots, e^{\lambda\_s x} P\_{n\_{s}}^{(s)}(x)\right)
  $$

  其中

  $$
  P\_j^{(i)}(x)=r\_{j0}^{(i)}+\frac{x}{1!}r\_{j1}^{(i)}+\cdots+\frac{x^{n\_i-1}}{(n\_i-1)!}r\_{jn\_i-1}^{(i)}
  $$

  是与 $\lambda*i$ 对应的第 $j$ 个向量多项式，而 $r*{jk}^{(i)}$ 是齐次线性方程组的 $n*i$ 个线性无关的解，且 $r*{jk}^{(i)}$ 是用 $r\_{j0}^{(i)}$ 代替引理中的 $r\_0$ 而依次得出的 $r\_k$

  **证明**

  $\Phi(x)$ 显然是解矩阵，只需要证明各列线性无关，而

  $$
  \Phi(0)=
  \left(r\_{10}^{(1)}, \cdots, r\_{n\_{1} 0}^{(1)} ; \cdots ; r\_{10}^{(s)}, \cdots, r\_{n\_s 0}^{(s)}\right)
  $$

  则我们总可以选取解空间 $\mathbb V$ 中满足 $(A-\lambda*iE\_n)^{n\_i}r=0$ 的 $r$ 张成的 $n\_i$ 维子空间 $\mathbb V\_i$ 的基底作为 $r*{j0}^{(i)}$，同时由于 $\mathbb V$ 恰为 $s$ 个 $\mathbb V\_i$ 的直和，各个子空间的基底与其他子空间的基底也是线性无关的，从而就证明了 $\Phi(x)$ 的各项是线性无关的，它是一个基本解矩阵